2025高中數學必修5知識點(必備7篇)。

高中數學必修5知識點 篇1

數列

1、數列的定義及數列的通項公式：

① an？f（n），數列是定義域為N

的函數f（n），當n依次取1，2，？？？時的'一列函數值② i。歸納法

若S0？0，則an不分段；若S0？0，則an分段iii。若an？1？pan？q，則可設an？1？m？p（an？m）解得m，得等比數列？an？m？

？Sn？f（an）

iv。若Sn？f（an），先求a

1？得到關于an？1和an的遞推關系式

S？f（a）n？1？n？1？Sn？2an？1

例如：Sn？2an？1先求a1，再構造方程組：？？（下減上）an？1？2an？1？2an

？Sn？1？2an？1？1

2、等差數列：

①定義：a

n？1？an=d（常數），證明數列是等差數列的重要工具。 ②通項d？0時，an為關于n的一次函數；

d>0時，an為單調遞增數列；d<0時，a

n為單調遞減數列。

n（n？1）2

③前n？na1？

d，

d？0時，Sn是關于n的不含常數項的一元二次函數，反之也成立。

④性質：ii。若？an？為等差數列，則am，am？k，am？2k，…仍為等差數列。 iii。若？an？為等差數列，則Sn，S2n？Sn，S3n？S2n，…仍為等差數列。 iv若A為a，b的等差中項，則有A？3。等比數列：

①定義：

an？1an

？q（常數），是證明數列是等比數列的重要工具。

a？b2

②通項時為常數列）。

③。前n項和

需特別注意，公比為字母時要討論。

高中數學必修5知識點 篇2

1.等差數列通項公式

an=a1+(n-1)d

n=1時a1=S1

n≥2時an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b為常數)推導過程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b

2.等差中項

由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。

有關系：A=(a+b)÷2

3.前n項和

倒序相加法推導前n項和公式：

Sn=a1+a2+a3+·····+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差數列的前n項和等于首末兩項的和與項數乘積的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

4.等差數列性質

一、任意兩項am，an的關系為：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差數列廣義的通項公式。

二、從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N

三、若m，n，p，q∈N_且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq

四、對任意的k∈N_有

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數列。

高中數學必修5知識點 篇3

(一)解三角形：

1、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，，則有

(為的外接圓的半徑)

2、正弦定理的變形公式：①，，;

②，，;③;

3、三角形面積公式：.

4、余弦定理：在中，有，推論：

(二)數列：

1.數列的有關概念：

(1)數列：按照一定次序排列的一列數。數列是有序的。數列是定義在自然數N_它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函數。

(2)通項公式：數列的第n項an與n之間的函數關系用一個公式來表示，這個公式即是該數列的通項公式。如:。

(3)遞推公式：已知數列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與他的前一項an-1(或前幾項)可以用一個公式來表示，這個公式即是該數列的遞推公式。

如:。

2.數列的表示方法：

(1)列舉法：如1，3，5，7，9，…(2)圖象法：用(n,an)孤立點表示。

(3)解析法：用通項公式表示。(4)遞推法：用遞推公式表示。

3.數列的分類：

高中數學必修5知識點 篇4

（一）、映射、函數、反函數

1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射。

2、對于函數的概念，應注意如下幾點：

（1）掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否為同一函數。

（2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數關系式，特別是會求分段函數的解析式。

（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的復合函數，其中g（x）為內函數，f（u）為外函數。

3、求函數y=f（x）的反函數的一般步驟：

（1）確定原函數的值域，也就是反函數的定義域；

（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；

（3）將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f—1（x），并注明定義域。

注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起。

②熟悉的應用，求f—1（x0）的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算。

（二）、函數的解析式與定義域

1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域。求函數的定義域一般有三種類型：

（1）有時一個函數來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮；

（2）已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：

①分式的分母不得為零；

②偶次方根的被開方數不小于零；

③對數函數的真數必須大于零；

④指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1；

⑤三角函數中的正切函數y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。

（3）已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。

已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。

2、求函數的解析式一般有四種情況。

（1）根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式。

（2）有時題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法。比如函數是一次函數，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可。

（3）若題設給出復合函數f[g（x）]的表達式時，可用換元法求函數f（x）的表達式，這時必須求出g（x）的值域，這相當于求函數的定義域。

（4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現其他未知量（如f（—x），等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。

（三）、函數的值域與最值

1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

（1）直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域。

（2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元。

（3）反函數法：利用函數f（x）與其反函數f—1（x）的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如（a≠0）的函數值域可采用此法求得。

（4）配方法：對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法。

（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。

（6）判別式法：把y=f（x）變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。

（7）利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調性，可采用單調性法求出函數的值域。

（8）數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域。

2、求函數的最值與值域的區別和聯系

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值。因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異。

如函數的值域是（0，16]，值是16，無最小值。再如函數的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時，函數的最小值為2?？梢姸x域對函數的值域或最值的影響。

3、函數的最值在實際問題中的應用

函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤”或“面積（體積）（最?。钡戎T多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。

（四）、函數的奇偶性

1、函數的奇偶性的定義：對于函數f（x），如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函數f（x）就叫做奇函數（或偶函數）。

正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：（1）定義域在數軸上關于原點對稱是函數f（x）為奇函數或偶函數的必要不充分條件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恒等式。（奇偶性是函數定義域上的整體性質）。

2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：

注意如下結論的運用：

（1）不論f（x）是奇函數還是偶函數，f（|x|）總是偶函數；

（2）f（x）、g（x）分別是定義域D1、D2上的奇函數，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函數，f（x）·g（x）是偶函數，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；

（3）奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數；

（4）奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。

3、有關奇偶性的幾個性質及結論

（1）一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱。

（2）如要函數的定義域關于原點對稱且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數。

（3）若奇函數f（x）在x=0處有意義，則f（0）=0成立。

（4）若f（x）是具有奇偶性的區間單調函數，則奇（偶）函數在正負對稱區間上的單調性是相同（反）的。

（5）若f（x）的定義域關于原點對稱，則F（x）=f（x）+f（—x）是偶函數，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函數。

（6）奇偶性的推廣

函數y=f（x）對定義域內的任一x都有f（a+x）=f（a—x），則y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱，即y=f（a+x）為偶函數。函數y=f（x）對定義域內的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），則y=f（x）的圖象關于點（a，0）成中心對稱圖形，即y=f（a+x）為奇函數。

學好數學的方法

學好數學第一要養成預習的習慣。這是我多年學習數學的一個好方法，因為提前把老師要講的知識先學一遍，就知道自己哪里不會，學的時候就有重點。當然，如果完全自學就懂更好了。

第二是書后做練習題。預習完不是目的，有時間可以把例題和課后練習題做了，檢查預習情況，如果都會做說明學會了，即使不會還能再聽老師講一遍。

第三個步驟是做老師布置的作業，認真做。做的時候可以把解題過程直接寫在題目旁邊，比如選擇題和填空題，因為解答題有很多空白處可寫。這樣做的好處就是，老師講題時能跟上思路，不容易走神。

第四個學好數學的方法是整理錯題。每次考試結束后，總會有很多錯題，對于這些題目，我們不要以為上課聽懂了就會做了，看花容易繡花難，親手做過了才知道會不會。而且要把錯的題目對照書本去看，重新學習知識。

第五個提高數學成績的方法是查缺補漏。在做了大量習題以后，數學成績有所提高，但還是存在一些不會做的題目，我們要善于發現哪些類型的題目還存在盲區，然后逐一擊破。

下一個方法是提高數學分數段。可能數學學了一段時間，成績老是上不去，這是要總結差在哪里？基礎題還是拔高題，然后對自己提出高要求，基礎題目爭取不丟分，然后做一些有難度的題目。

第七個數學提分方法是掌握一些數學解題思路。數學很多題目都是有固定的或者是多種解題思想的，大家要善于發現和總結，比如歸納法、分類討論法等等。

第八個學好數學的方法是“鉆”。當遇到難題百思不得其解時，學霸們的做法通常是思考一兩天，而學酥的做法則是一掃而過，其中的差別已經很明顯了，這也是成績差異的原因所在。

要想提高數學分數，最明智的做法是，考試遇到不會的題目先放過去，做完其他題目再回過頭來重新做難題。但不能連著放過去好幾道題目，那就有問題了。

最后一個提分方法就是合理安排答題時間，規定做選擇題和大題各多長時間，然后按照既定時間去做，這樣才能最有效的提高數學分數。

數學集合知識點

1、集合的含義

2、集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性如：世界上最高的山

（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y}

（3）元素的無序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合

3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N_或N+整數集Z有理數集Q實數集R

1）列舉法：{a，b，c……}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大

括號內表示集合的方法。{x∈R|x—3>2}，{x|x—3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn圖：

4、集合的分類：

（1）有限集含有有限個元素的集合

（2）無限集含有無限個元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝

高中數學必修5知識點 篇5

1.數列的函數理解：

①數列是一種特殊的函數。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集N_其有限子集{1，2，3，…，n}的函數，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函數的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。③函數不一定有解析式，同樣數列也并非都有通項公式。

2.通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關系可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式(注：通項公式不)。

數列通項公式的特點：

(1)有些數列的通項公式可以有不同形式，即不。

(2)有些數列沒有通項公式(如：素數由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。

3.遞推公式：如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。

數列遞推公式特點：

(1)有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不。

(2)有些數列沒有遞推公式。

有遞推公式不一定有通項公式。

高中數學必修5知識點 篇6

不等關系及不等式知識點

1.不等式的定義

在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數學符號、連接兩個數或代數式以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，叫做不等式.

2.比較兩個實數的大小

兩個實數的大小是用實數的運算性質來定義的，有a-baa-b=0a-ba0，則有a/baa/b=1a/ba

3.不等式的性質

(1)對稱性：ab

(2)傳遞性：ab，ba

(3)可加性：aa+cb+c，ab，ca+c

(4)可乘性：ab，cacb0，c0bd;

(5)可乘方：a0bn(nN，n

(6)可開方：a0

(nN，n2).

注意：

一個技巧

作差法變形的技巧：作差法中變形是關鍵，常進行因式分解或配方.

一種方法

待定系數法：求代數式的范圍時，先用已知的代數式表示目標式，再利用多項式相等的法則求出參數，最后利用不等式的性質求出目標式的范圍.

高中數學必修5知識點 篇7

(一)解三角形：

1、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，，則有

(為的外接圓的半徑)

2、正弦定理的變形公式：①，，;

②，，;③;

3、三角形面積公式：.

4、余弦定理：在中，有，推論：

(二)數列：

1.數列的有關概念：

(1)數列：按照一定次序排列的一列數。數列是有序的。數列是定義在自然數N_它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函數。

(2)通項公式：數列的第n項an與n之間的函數關系用一個公式來表示，這個公式即是該數列的通項公式。如:。

(3)遞推公式：已知數列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與他的前一項an-1(或前幾項)可以用一個公式來表示，這個公式即是該數列的遞推公式。

如:。

2.數列的表示方法：

(1)列舉法：如1，3，5，7，9，…(2)圖象法：用(n,an)孤立點表示。

(3)解析法：用通項公式表示。(4)遞推法：用遞推公式表示。

3.數列的分類：

4.數列{an}及前n項和之間的關系: