數學不等式齊次化思想總結(實用十四篇)

數學不等式齊次化思想總結(實用十四篇)。

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1、內容的完成情況

本節課內容基本完成，但內容于學生來說有些簡單，個別學生可能會出現“吃不飽”的現象。主要原因是對學生的了解不夠到位。

2、教學環節處理

首先，對于例1后的練習題處理時間較長，基本是每個人都能顧及到，所以在講課時，忽略了這一點。其次，例2的處理不好。對于例2我認為學生接觸起來肯定有一定的難度，在設計課時，我特別設計了很多問題，引導學生進行分類。但是，當我問到“什么是更實惠？”時，學生立刻回答“要分情況?！边@樣就很自然的出現了分類討論，可見學生對這種類型的題，已經是了解了，我想主要就是解題了，所以把更多的時間放在了分組解題上，并沒有進行太多的分析，只是讓學生自己完成，但是我在巡視的時候發現學生不知道如何寫，所以我又重新分析帶領學生完成三種情況的列式，然后再由學生完成，這樣后面總結有些著急，練習題也就沒能完成。

3、課件的輔助作用

有人曾說過：“不要為了課件而課件”，我的這節課，有些地方處理的就不好，特別是例2的背景，總想給學生創設一個環境，使他們愿意學習，但忽略了PPT使用的真正價值，并沒有起到突出教學重點的作用。特別是課件的背景沒有突出數學的教學背景。作用反而適得其反，分散了學生的注意力，所以在后面的課件制作中要為突出內容和重點，不能流于形式。

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1、一元一次不等式組：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

4、當任何數x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

5、一元一次不等式組的解法

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

6、不等式與不等式組

不等式：

①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反。

7、不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

②一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式。

7、定理與性質

不等式的性質：

不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變。

不等式的基本性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

不等式的基本性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

4、說明：①在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運算改變。②如果不等式乘以0，那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數，那么就要看看題中是否出現一元一次不等式，如果出現了，那么不等式乘以的數就不等為0，否則不等式不成立。

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我的本節課學習的人民教育出版社出版的六三制初中數學七年級下冊，第九章第一節的第一課時，主要學習不等式的定義及符號表示，不等式的解、解集、解不等式、一元一次不等式等的定義，不等式解集的表示方法等內容。通過對本節課的教學，談如下感受：

一、讓數學走進學生的生活，提高學生的學習興趣，提升學生用數學的眼光看生活，用數學的語言表述生活現象的能力。不等關系在學生的實際生活中是隨處可見的，讓學生把生活中的內容數學化，可以提高學生的興趣，但同時也會暴露學生認識中的不足：如用數學語言描述不等關系時，學生敘述是往往缺乏必要的限制的條件：有學生說：電腦比電視的價格高，青菜比水果便宜等。而忽略了物品的質量、品牌、品種等不同而帶來的價格的不同。所以在教學中要提醒學生用準確的數學語言來描述它們之間的不等關系。

二、類比是本節的重要方法，在本節課中有所體現，但是強調的不夠，原因主要要本節課的概念較多，如果把所對應方程的所有概念都加以類比來強化的話，反而會淡化學生對不等式相關定義的理解和掌握，所以在本節課中主要對方程的解與不等式的解進行了類比。而對方程與不等式，一元一次方程與一元一次不等式在教學中是視情況而來對待的，如果學生理解這些概念有問題，就進行類比來教學，如果學生理解不等式的這些概念沒問題的話，就可以淡化對這些感念的類比。

三、關于對“≥、≤”的處理，在人教版的教材中，本節課中沒有出現這兩個符號，本節課的教材中只是把用“＞、＜、≠”來表示大小關系的式子叫做不等式，二在第二課時學習不等式的性質來才引入“≥，≤”及其含義，我感覺為了體現知識的完備性，在本節課中，把表示大小關系的五個符號一起出現，讓學生體會認識，特別是在用數軸表示不等式的解集的時候，學生可以更加清楚地認識“≥、≤、＞、＜”的區別與聯系。

四、引導學生準確用不等式表示數量關系，由于學生在以前已經對數量的大小關系和含數字的不等式有所了解，但還沒有接觸過含未知數的不等式，在本節教學中，要引導學生用含有未知數的不等式來表示顯示生活中的大小關系，特別要注意：“正數、負數、非負數、大、小、多、少、超過、不足”等詞在列不等式時對不等號的選用，讓學生知道用不等式解決實際問題的方便之處，要求學生準確“譯出”不等式。教學中，如果在組織學生討論的過程中適當地滲透變量的知識，讓學生感受其中的函數思想，并引導學生發現不等式的解與方程的解之間的區別會更好些。

以上是我對執教本節課的簡單反思，不當之處，敬請各位批評指正。

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（一）教學目標

1．知識與技能:使學生感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，在學生了解了一些不等式（組）產生的實際背景的前提下，學習不等式的有關內容。

2.過程與方法:以問題方式代替例題，學習如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關基本性質研究不等關系；

3．情態與價值：通過學生在學習過程中的感受、體驗、認識狀況及理解程度，注重問題情境、實際背景的的設置，通過學生對問題的探究思考，廣泛參與，改變學生學習方式，提高學習質量。

（二）教學重、難點

重點：用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值。

難點：用不等式（組）正確表示出不等關系。

（三）教學設想

[創設問題情境]

問題1：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點，則d≤。

問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。根據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少20xx本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？

分析：若雜志的定價為x元，則銷售的總收入為萬元。那么不等關系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式≥20

問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？

分析：假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根..

根據題意，應有如下的不等關系：

（1）解得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；

（2）截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍；

（3）解得兩鐘鋼管的數量都不能為負。

由以上不等關系，可得不等式組：

[練習]第82頁，第1、2題。

[知識拓展]

設問：等式性質中：等式兩邊加（減）同一個數（或式子），結果仍相等。不等式是否也有類似的性質呢？

從實數的基本性質出發，可以證明下列常用的不等式的基本性質：

（1）

（2）

（3）

（4）

證明：

例1講解（第82頁）

[練習]第82頁，第3題。

[思考]：利用以上基本性質，證明不等式的下列性質：

[小結]：1.現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系；

2.利用不等式的有關基本性質研究不等關系；

[作業]：習題3.1（第83頁）：（A組）4、5；（B組）2.

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歷年考研數學中，不等式的證明這個題型考查頻率高達百分之九十以上，同時這也是為數較多的考生極其費解的一類問題。不等式的證明方法有很多，比如利用微分中值定理證明不等式、利用單調性證明不等式、利用極值和最值證明不等式、利用曲線凹凸性證明不等式、利用泰勒公式證明不等式等等，本文主要討論運用函數單調性證明不等式。

單調函數是一個重要的函數類，函數的單調性應用廣泛，可利用它解方程、求最值、證明等式與不等式、求取值范圍等，并且可使許多問題的求解簡單明快。下面主要討論函數單調性在不等式證明中的.應用。

在此，提醒考生們，不等式證明的關鍵在于輔助函數的構造。可以直接將不等式右端移到左端構造輔助函數；也可以先將要證的不等式作適當的變形，再將右端移到左端，構造輔助函數，這時候應注意使得變形后的輔助函數的導數容易確定符號。因此，大家在復習備考時需要著重加強輔助函數構造的靈活方法及解題正確率的訓練。

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教材分析

本節課是在系統的學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應重點研究。

教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。通過本節學習體會數學來源于生活，提高學習數學的樂趣。

課程目標分析

依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：

1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式;培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

2、過程與方法目標：按照創設情景，提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。

3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質。

教學重、難點分析

重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應用。

難點：1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);

2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

教法分析

本節課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

教學準備

多媒體課件、板書

教學過程

教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。

具體過程安排如下：

創設情景，提出問題;

設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.基于此，設置如下情境：

上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。

[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎?

本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。

二、抽象歸納：

一般地，對于任意實數a，b，有，當且僅當a=b時，等號成立。

[問]你能給出它的證明嗎?

學生在黑板上板書。

特別地，當a>0，b>0時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么?

設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎.

答案：。

【歸納總結】

如果a，b都是正數，那么，當且僅當a=b時，等號成立。

我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a，b的算術平均數，稱為a，b的幾何平均數。

三、理解升華：

1、文字語言敘述：

兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

2、聯想數列的知識理解基本不等式

已知a，b是正數，A是a，b的等差中項，G是a，b的正的等比中項，A與G有無確定的大小關系?

兩個正數的等差中項不小于它們正的等比中項。

3、符號語言敘述：

若，則有，當且僅當a=b時，。

[問]怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論，交流看法，師生總結)

“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：

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0)，則 ai0)。

4. 除法不等式法則：若 a>b(i>0)，則 a/i>b/i(i>0)；若 a0)，則 a/i0)。

二、基本不等式的性質

基本不等式的性質有以下幾點：

1. 基本不等式的法則具有傳遞性，即若 a>b>c，則 a+c>b+c>c，a-c>b-c>c，ai>bi>ci(i>0)，a/i>b/i>c/i(i>0)。

2. 基本不等式的法則在非正整數中不成立，即對于任意的 a、b、i∈Z，若a>b，則 ai>bi 不一定成立。

3. 基本不等式的法則在復數中不成立，即對于任意的 a、b、i∈C，若a>b，則 ai>bi 不一定成立。

三、基本不等式的推導

基本不等式的推導是基于實數域的可比性和大小關系建立的。本文重點闡述了加法不等式法則和乘法不等式法則的推導過程。

1. 加法不等式法則的推導

（1）定義a和b：設a和b是任意兩個實數，且a>b。

（2）常數c取正值：令c為任意正數，有a-c>b-c。

（3）常數c取負值：令c為任意負數，則-a>-b，即a+b>c。

（4）常數c取零：令c=0，則a>b。

由上述推導過程可知，加減法不等式法則是基本不等式的核心，具有重要的實用價值。其應用范圍涉及到很多方面，例如計算機、工程、經濟等等。

2. 乘法不等式法則的推導

（1）定義a、b、i：設a、b、i是任意三個實數，且a>b(i>0)。為了簡化表達，將i寫成x。

（2）c取x: 因為c是正數，所以ac>bc。

（3）c取1/a: 若a>b，則1/a

合起來，得到ax>bx(x>0)。在不等式中x也可以取負數，即ax四、基本不等式的應用

基本不等式的應用范圍非常廣泛，除了在高中數學教學中常用于證明和求解復雜的不等式外，還可應用于其他領域，例如經濟、計算機、科學等。下面舉例說明：

1. 經濟領域：在經濟學中，基本不等式可以用于比較現金、利率和收益率等經濟變量的差異性，幫助企業和個人做出決策。

2. 計算機領域：在計算機科學中，基本不等式可以用于計算機算法的復雜性分析和性能優化，提高計算機算法的執行效率。

3. 科學領域：在科學研究中，基本不等式可以用于物理學和化學學科中的一些公式證明和參數計算，例如在力學中用于計算力量和質量之間的關系。

總之，基本不等式在數學和其他領域中都具有非常重要的作用，可謂是多方面應用的數學工具。希望各位同學在學習中認真掌握，靈活運用，為自己的成長和發展打下良好的數學基礎。

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不等式的證明（二）

第二課時

教學目標

1．進一步熟練掌握比較法證明不等式；

2．了解作商比較法證明不等式；

3．提高學生解題時應變能力.

教學重點比較法的應用

教學難點常見解題技巧

教學方法啟發引導式

教學活動

（一）導入新課

（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評．

（學生活動）思考問題，回答．

［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

2．比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？

3．用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形．在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用．（板書課題）

設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評．

（學生活動）嘗試解決問題．

[問題]

1．化簡

2．比較 與 （ ）的大小．

（學生解答問題）

［點評］

①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化．

②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小．

設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系．

【例題示范，學會應用】

（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程．

（學生活動）分析，研究問題．

［字幕］例題3? 已知a，b是正數，且 ，求證

［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形．

證明：（見課本）

［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范．

[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關系．并說明理由．

［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號．

解：

因為 ，所以 ，

若 ，則 ? 所以 ．

即

若 ，則 所以 ．

即

若 ，則 所以 ．

即

綜上所述： 時，

時，

時，

［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時要不重不漏．

［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點．甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達指定地點．

[分析]設從出發地點至指定地點的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了．

解：（見課本）

［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題．要培養自己學數學，用數學的良好品質．

設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法．培養學生應用知識解決實際問題的能力．

【課堂練習】

（教師活動）教師打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題．

（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．

［字幕］練習：1．設 ，比較 與 的大小．

2．已知 ， ，求證

設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號．反饋信息，調節課堂教學．

【分析歸納、小結解法】

（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟．

（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上．

1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法．

2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

3．會用分類討論的方法確定差式的符號．

4．利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟．②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答．

設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系．

（三）小結

（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學思想與方法．

（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．

本節課學習了對差式變形的一種常用方法――因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題．

通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力．

設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學思想方法．

（四）布置作業

1．課本作業：P17?? 7、8。

2，思考題：已知 ，求證

3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的.速度和部在靜水中的速度保持不變）

設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力．

（五）課后點評

1．教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動．

2．教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用．例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用．

作業答案

思考題：證明：

因為 ，所以當 時， ，故

又因為 ，所以

當 時， ，故 ，即 ，所以

當 時， .故 ，即 ，所以

綜上所述，

研究性題：設兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則

所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長．

第三課時

教學目標

1.掌握綜合法證明不等式；

2.熟練掌握已學的重要不等式；

3.增強學生的邏輯推理能力.

教學重點綜合法

教學難點不等式性質的綜合運用

教學方法? 啟發引導式

教學活動

（－）導入新課

（教師活動）打出字幕（課前練習），引導學生回憶所學的知識，盡量用多種方法完成練習，投影學生不同解法，并點評．

（學生活動）完成練習．

［字幕］

1．證明 （ ）．

2．比較 與 的大小，并證明你的結論．

1．證法一：由 ，所以

方法二：由 ，知 ，即 ，所以

2．答：

證法一：由 ，所以

證法二：由 知 ，所以

［點評］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們在6．1節和6．2節已學過，這種方法是綜合法，是本節課學習的內容．（板書課題）

設計意圖：通過練習，復習比較法證明不等式，導入新課：綜合法證明不等式．提出學習任務．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點評證法的數學原理，

（學生活動）學生研究證明不等式．

[問題]證明

（證明：因為 ，所以 ，即 ．）

[點評]

①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法證題方法：由已知推出結論．這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質．

設計意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識，構建用綜合法證明不等式的方法原理．

【例題示范、學會應用】

（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用綜合法證明不等式，并點評用綜合法證明不等式必須注意的問題．

（學生活動）學生在教師誘導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

例1 已知 ，求證

［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數，可用平均值定理作為已知不等式推證．

證明：因為 ，則 ，所以 ．故

［點評］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結構特征．

例2? 已知a，b，c是不全相等的正數，求證

[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發可證．

證明一（見課本）

證明二：

因為a，b，c是不全相等的正數．所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號．

所以

即

[點評]

①綜合法的思維特點是：由已知推出結論．用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：

； （ ）； （ ）； （a，b同號）， （ ）。

②此例中條件a，b，c是不全相等的正數，所以最后所證不等式取不到等號．

③由于作為綜合法證明依據的不等式本身是可以根據不等式的意義、性質或比較法證出

的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據不等式的意義、性質或比較法來證明．

我們在證明不等式時，選擇方法要適當，不要對某種方法抱定不放，要善于觀察，根據題目的特征選擇證題方法．

設計意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內在聯系．

【課堂練習】

（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正，點評練習中存在的問題．

（學生活動）在筆記本上完成練習．甲、乙兩位同學板演．

［字幕］練習1 已知，求證

2．已知 ，求證

設計意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會靈活運用重要不等式作為證明中的已知不等式．反饋課堂效果，調節課堂教學．

【分析歸納，小結解法】

（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程．小結用綜合法證明不等式的解題方法．

（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上．

1．綜合法是證明不等式的基本方法．用綜合法證明不等式的邏輯關系是： … （A為已經證明過的不等式，B為要證的不等式）．即綜合法是“由因導果”．

2．運用不等式的性質和已證明過的木等式時，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結論無誤．

設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法．

（三）小結

（教師活動）教師小結本節課所學的知識．

（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上．

本節課學習了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據是：l。已知條件和不等式性質；2．基本不等式．能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據是基本不等式時，要注意定理的使用條件和定理中“=”號成立的條件．

設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

（四）布置作業

1．課本作業：P17? 5．6．

2．思考題：若 ，求證

3．研究性題：某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以 千米／小時的速度直達災區．已知某市到災區的公路線長400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米．

那么，這批物資全部到達災區的最短時間是多少？

設計意圖：課本作業鞏固基礎知識，思考題供學有余力的同學完成．研究性題培養學生應用數學知識解決實際問題的能力．

（五）課后點評

1．在導入新課時設計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用已學過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使學生沒有想到，教師引導起來也并不困難．因而順著學生的思路，幫助學生形成用綜合法證明不等式的知識結構．

2．例1與例2的學習使學生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發現綜合法與比較法的內在聯系．在教學設計上，力圖從學生的需要出發設計問題，幫助學生抓住知識的內在聯系，使學到的方法能用、會用．

作業答案

思考題：證明：因為 ，又因為 ，所以 ．同理 ； 將上述三個不等式相加得

所以

研究性題：設最后一輛車到達時用的時間為 小時，則

所以最短時間為12小時．

? 數學不等式齊次化思想總結

教學目標：

了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法。

教學重點：

是掌握解一元一次不等式的步驟

教學難點：

是必須切實注意遇到要在不等式兩邊都乘以（或除以）同一負數時，必須改變不等號的方向。

教學過程：

一、問題導入

復習：

1、不等式的基本性質有哪些？什么是一元一次方程？并舉出兩個例子。

2、觀察不等式x+3＜5與x＜2，說明解x＜2是x+3＜5依據什么變形得到的？

3、解一元一次方程：6x+5=7－2x，目的是為了與下面所學的解一元一次不等式進行類比，找到它們的聯系與區別。

二、指導自學，小組合作交流

請同學們根據以下提問進行自學，先個人思考，后小組合作學習。

1、觀察下列不等式，說一說這些不等式有哪些共同特點？

（1）2x+5≥8（2）x+1≤—4（3）x＜2（4）6—3x＞43（x+1）≤0

觀察上面不等式有哪些共同特點，讓學生通過交流，再總結一元一次不等式的概念。老師板書定義。

2、讓學生舉出2或3個一元一次不等式的例子，小組交流。

3、讓學生通過比較解一元一次方程：6x+5=7－2x的解法試解一元一次不等式：6x+5＜7－2x，并將解集在數軸上表示出來。

4、思考：一元一次不等式與一元一次方程的解法有哪些類似之處？有什么不同？

5、解下列不等式，并把它們的解集在數軸上表示出來。

（1）3－x＜2x+9（2）2－4（x－1）>3（x+2）－x

（3）（x－1）/3≥（2－x）/2+1

總結：解一元一次不等式的依據和解一元一次不等式的步驟。

三、互動交流，教師點撥

（一）、學生易出錯的問題和注意的事項：

1、確定一個不等式是不是一元一次不等式，要抓住三個要點：左右兩邊都是整式，只有一個未知數，未知數的次數是1。

2、對于（1），讓學生說明不等式3－x＜2x+9的每一步變形的依據是什么，特別注意的是：解不等式的移項和解方程的移項一樣。即移項要變號（培養學生運用類比的數學思想）。

3、不等式兩邊同時除以（－3）時，不等號的方向改變。

2、重點點撥（2）和（3），先讓學生到黑板上板演。老師再講評。

（2）易出錯的地方是：去括號時漏乘，括號前是負號，去掉括號后括號里的項沒變號，還有移項沒有變號；（3）易出錯的地方是：去分母時漏乘無分母的項。

3、歸納解一元一次不等式的步驟（與解一元一次方程的步驟類比）：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1。（在系數化為1這一步要特別提醒學生注意當系數為負數時，要記住改變不等號的方向。）

四、鞏固練習

1、判斷下列不等式是不是一元一次不等式，為什么？

（1）2/x—3<5x+3

（2）5x+3<02="">x–1

（4）x（2x+1）

（5）X+2≥x

2、解下列不等式，并把它們的解集在數軸上表示出來

（1）3x–8<5x+12

（2）2（x–1）≥x+3

（3）x/5≥1+（x–3）/2

3、[思考]當x取何值時，代數式（x–2）/2的值比（3x+1）/3的值大？

小結：

（1）不等式兩邊同時除以負數時，不等號的方向要改變。

（2）注意去括號時不要漏乘，括號前是負號，去掉括號后括號里的項要變號，還有移項一定要變號

（3）去分母時不要漏乘無分母的項。

? 數學不等式齊次化思想總結

一、教學目標

(一)知識與技能

1.了解從實際情境中抽象出二元一次不等式(組)模型的過程

2.掌握簡單的二元線性規劃問題的解法

3.了解數學建模的整個過程

(二)過程與方法

1.通過對實際問題的探索，培養學生用數學眼光去觀察生活、并且能提出問題、分析問題、解決問題的能力.

2.增強學生的協作能力.

(三)情感、態度與價值觀

1.通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學模型的發現，培養學生勇于探索、善于發現、不畏艱辛的品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的興趣，深刻體會數學是有用的.

2.通過實例的社會意義，培養學生愛護環境的責任心.

二、教學重點、難點

重點：從具體生活情境中提煉出簡單的二元線性規劃問題，并且用數學方法解決問題.

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難點：從具體生活情境中提煉出約束條件和目標函數.

三、教學設想

本節課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以二元一次不等式(組)模型的發現為基本探究內容，以周圍世界和生活實際為對象，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用于對實際問題的深入探討.讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發展，在“合作”中增知，在“探究”中創新.設計思路如下：

創設情境→方案討論→數據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際

四、教學過程：

引入

(1)如圖，小明與小聰玩蹺蹺板，大家都不用力時，蹺蹺板左低右高.小明的身體質量為p(kg)，小聰的身體質量為q(kg)，書包的質量為2kg，怎樣表示p、q之間的關系?

(2)上圖是公路上對汽車的限速標志，表示汽車在該路段行使的速度不得超過40km/h.若用v(km/h)表示車的速度，那么v與40之間的數量關系用怎樣的式子表示?

(3)據科學家測定，太陽表面的溫度不低于6000℃.設太陽表面的溫度為t(℃)，怎樣表示t與6000之間的關系?

歸納：數學作用之一，我們可以用數學語言描述客觀世界的某些現象

當然，數學作用不僅于此，我們還可以通過數學解決現實生活中的問題.

(一)情景設置

我校環境優美，毗鄰江水，校園內四季常青，但是遠眺圍墻外，有一座小山，那是一座垃圾山.楊府山垃圾場有他的.歷史作用和意義，現在已經完成了它的歷史使命，而且現在有了負面影響，市委市政府打算對其進行改造.經過專家論證，有如下方案可行：發電、制磚

(二)處理方案討論

現同時用兩種措施對垃圾山進行改造處理，如果你是項目經理，給你500萬采購發電設備以及制磚設備，你該如何去實施?

(學生自主發言)

學生問題一、怎樣安排資金?買幾臺發電設備，幾臺制磚設備?如何決策?

引導：問題轉化為如何安排資金，能取得最大效益?即兩種方案生產產品的利潤(售價減去成本)

學生問題二、如何知道這些信息?(產品售價、設備的單價等)

引導(先提問學生)：上網查詢、市場調查、向已建廠取經、參觀展銷會等等.

(三)數據的篩選

由于教室條件限制，不能現場查取，所以老師幫你們收集了一些資料，希望對你們有所幫助.請分析以下信息，提取你認為有用的數據.

信息一、

信息二、

焚燒垃圾重量直接關系到垃圾發電企業的經濟效益.在BOT的模式下，企業的效益這樣來保障：

1.每處理1噸垃圾，政府補貼發電企業73.8元，

2.保證以0.52元/千瓦時的價格收購全部垃圾發電量，

3.一臺發電設備每處理1噸垃圾平均費用為123元

4.一臺發電設備日處理垃圾能力為225噸，

5.1噸垃圾可發電300千瓦時，其中30%為自用電

信息三、

發電設備：120萬/臺制磚設備：35萬/臺

機房總面積為7畝，每臺設備有各自平均占地，其中發電設備每臺平均占地1畝，制磚機每臺平占地1畝

(四)建立模型

你能從以上信息中提煉出你所需要的信息，并用數學語言表示出來嗎?

(學生動手)

引導：我們剛才處理的問題即應用題：

例一工廠欲生產甲乙兩種產品，已知生產一件甲產品利潤為60元，一臺甲設備價格為120萬，占地1畝，年生產能力為82125件;生產一件乙產品利潤為0.12元，一臺乙設備價格為35萬，占地1畝，年生產能力為15000000件.現有資金500萬，廠房7畝，該廠該如何添置甲乙兩種設備，使得年利潤最大?

(五)解決模型

該問題即我們上節課剛學過的線性規劃問題，請大家動手解決.

(六)反饋實際

我們可以將我們的成果發到市長信箱，為城市建設出謀劃策，貢獻自己的一份力量.

五、歸納小結

(一)解決生活問題的步驟：

創設情境→方案討論→數據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際

現實問題：給你資金和地皮，購置設備

方案討論：通過1.上網查詢2.市場調查3.吸收已建廠經驗等方法收集信息.

數據篩選及建立模型：將收集到的信息用數學語言表示出來.

解決模型：用已學過的數學知識進行分析、處理，得出結論.

反饋實際：將結論應用于實際問題當中.

(二)順利解決生活問題體要具備的能力

我們要具備信息收集及處理能力、生活語言轉化成數學語言的能力以及扎實的數學解題能力.

? 數學不等式齊次化思想總結

今天的學習內容一次函數與一元一次不等式是上一課內容的延續，一個問題的三種不同的表述是最難理解的，求不等式ax+b＞0的解集，等價于求x為何值時函數y=ax+b的值大于零，等價于求直線y=ax+b在x軸上方的部分x的取值范圍，同樣的，求不等式ax+b＜0的解集，等價于求x為何值時函數y=ax+b的值小于零，等價于求直線y=ax+b在x軸下方的部分x的取值范圍。

在今天早上我們幾個老師的共同研究下，我的設計教學程序時，作了如下安排：用圖象法求方程2x—6=0的解，進而研究求不等式2x—6＞0的解集，轉化為求x為何值時，函數y=2x—6的值大于0，轉化為求x為何值時，直線y=2x—6在x軸上方，在此基礎上進行練習前置學習的訓練，提升到一般情況：利用圖象回答，x為何值時，方程mx+n=0的解，不等式mx+n＞0的解集，不等式mx+n＜0的解集，例題2的教學是本課難點，每個老師在課堂上用各種不同的方法進行分析，協助學生理解。

陶老師在教研課上的處理方法很好，由學生分析，取x的值計算函數值進行比較，評課交流時，老師們提出還可以列舉更多的x的值進行計算比較，學生理解起來更為便利，在這個問題上，我在輔導學生時，從交點出發通過函數的增減性研究解讀，感覺學習困難的學生還是好理解的，在下一課的課上，用這樣的分析方法再做輔導，看效果應該可以的。不斷地學習，不斷地實踐，不斷地提高。

? 數學不等式齊次化思想總結

七年級數學《不等式性質》說課稿

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七年級下冊數學《9.1.2不等式的性質》說課稿 9.1.2《不等式的性質》---說課稿

本節課的內容是《不等式的性質》第1課時，課題選自人教版《義務教育課程標準實驗教科書數學（七年級下冊）》．我將從教學目標的設定；教學重點、難點的分析；教學方式與手段的選擇及教學過程的設計幾方面來闡述我對本節課的教學設計．

一、教學目標

不等式的性質是本章的重點內容之一，是在學生學習了等式的基本性質、不等式及其解集的基礎上進行，是不等式變形的依據，也是探索不等式方法的基礎，學生掌握好本節內容是學好本章內容的關鍵。同時，本節課的內容蘊含著豐富的數學思想，是培養學生類比、化歸、數形結合等數學思想的良好素材。 《課程標準》中有關本節課的要求是：探索不等式的基本性質，會解簡單的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集。

根據《課程標準》對本節內容的教學要求，以及學生的認知水平，制定的教學目標如下： 知識與技能：

1、掌握不等式的三個性質并且能正確應用。

2、經歷探究不等式性質的過程，體會不等式與等式的異同點，發展學生分析問題和解決問題的能力。

3、開展研究性學習，使學生初步體會學習不等式性質的價值。 4.學生學會時刻歸納總結的學習方法。

過程與方法：本節課采用“類比－實驗－交流”的教學方法。

情感、態度與價值觀：

1、認識通過觀察實驗類比可以獲得數學結論，體驗數學活動充滿著探索性和創造性。

2、在獨立思考的基礎上，積極參與對數學問題的討論，敢于發表自己的觀點，學會分享別人的想法和結果，并重新審視自己的想法，能從中獲益。

二、教學重點、難點

不等式的性質是解不等式方法的依據，在全章中意義重大。教學中應切實使學生理解不等式性質的由來、意義，并知道它與等式的性質既有區別又有聯系，會利用不等式的性質對不等式作簡單變形，解簡單的一元一次不等式。因此，本節課的教學重點為：掌握不等式的性質；教學難點為：不等式性質3的探索及運用。

三、教學方式與手段 不等式性質的（2）、（3）是不等式性質與等式性質的主要區別，為了使學生能夠正確理解和運用這兩條性質，我在設計中引導學生經歷類比、猜想、觀察、歸納、驗證、比較、運用的探究過程，由學生自己發現結論，得出結論，這樣可以使學生對結論理解的更深刻，映像更牢固。因此，本節課采用的教學方式是啟發式教學方式。

教學中利用幻燈片，可以增強不等式的對比的視覺效果，有利于學生發現規律，輔助對教學重點的突出；利用實物投影展示學生的解題過程，矯正出現的問題，感受數學的嚴謹性．

四、教學過程

本節課的教學程序分為復習舊知、創設情境；探究新知、總結規律；鞏固訓練、加深理解；歸納小結、分層作業四個環節進行．

（一）復習舊知、創設情境

首先回顧等式的性質，教師提問：

1、等式有哪些性質？用數學式子怎樣表示？

2、這說明我們可以在等式兩邊同時作哪些相同的運算？運算后的結果呢？ 然后，引入本節課的主題：不等式是否也具有類似的性質呢？

通過回顧等式的性質，為本節課類比等式的性質，探索不等式的性質做好鋪墊，并且從學生已有的數學經驗出發，有助于學生建立新舊知識之間的聯系，培養學生梳理知識體系的習慣。

（二）探究新知、總結規律

活動1：你能用“﹤”或“﹥”填空，并總結其中的規律嗎？ （1）7﹥3

（2）

-1﹤3

7+2﹥3+2

-1+2﹤3+2

7-2﹥3-2

-1-3﹤3-3 根據題（1）、（2）發現的規律填空：當不等式兩邊都加上或減去同一個數(正數或負數)時，不等號的方向

。

(3) 若7＞3,

則7×5

3×5 ,

7×（-5）

3×（-5） ;

7÷5 ____3÷ 5 ,

7 ÷ (-5) ____3÷ (-5) (4) 若-1

則(-1)×6

3×6 ,

(-1)×（-6）

3×（-6） (-1)÷2____3÷2,

（-1）÷ (- 4)____3÷ ( - 4) 根據題（3）、（4）發現的規律填空：當不等式兩邊都乘以同一個正數時，不等號的方向

；當不等式兩邊都乘以同一個負數時，不等號的方向

。

本次活動以4組精心設計的填空題，讓學生通過觀察有限個不等式的變化，發現并歸納不等式的性質，進一步培養學生的抽象概括能力及合情推理能力。 此次活動是本節課的核心活動，對于學生有一定難度，有些學生可能會直接把等式的性質加以修改推廣到不等式，而忽略了不等式的兩邊乘以同一個正數或同一個負數的不同結論，此時教師應引導學生先計算、再比較，然后認真觀察，有必要的話可以繼續舉幾個例子讓學生觀察，體會不等式性質與等式性質的異同。

活動2：你能用自己的語言概括不等式有哪些性質嗎？

本活動中，教師組織學生分組討論，給每個學生提供發言機會，讓每一個學生都嘗試用自己的語言概括結論，鍛煉學生語言表達能力及抽象概括能力。

當學生概括出結論后，為了使學生對不等式的性質有更全面深入的了解，教師可提出以下3個問題，讓學生思考：

（1）性質中的“不等號方向不變”和“不等號方向改變”的含義是什么？

（2）對比性質2和性質3，你能歸納出不等號的方向何時不變，何時改變嗎？ 使學生經一步明確：“不等號方向不變”是指如果原來是“﹤”，那么變化后仍是“﹤”；“不等號方向改變”是指如果原來是“﹤”，那么變化后將成為“﹥”。 活動3：你能用式子表示出不等式的3條性質嗎？

教師深入小組，引導學生通過類比等式性質的表示方法，表示出不等式的性質，并注意規范學生的數學語言。在此活動中，教師應重點關注學生是否能根據對c所表示數的條件分開表示性質（2）、（3）。為了加深學生對性質的理解，教師可利用天平的示意圖對性質進行直觀刻畫。

通過用符號語言表示不等式的性質，有助于讓學生體會到用字母表示數的優越性，發展學生文字語言與符號語言相互轉化能力和符號感。

（三）、范例學習，應用所學

例

1、設a＞b，用“＜“ 或“＞”填空，并在題后的括號內填寫理由： （1）a-3

b-3；

（

） （2）

；

（

） （3）0.1a

0.1b；（

） （4） -4a

-4b；（

） (5) 2a+3____2b+3；

（

） (6) (m2+1) a ____ (m2+1)b (m為常數)；（

） 例

2、利用不等式的性質解下列不等式,并把解集在數軸上表示出來

(1) x-7﹥26;

(2)3x﹤2x+1;

(3)

﹥50；

（4）-4x﹥3 在解決問題之前，教師應首先組織學生回顧不等式的解集用式子如何表示，引導學生認識到解不等式就是通過將不等式逐步變形，化為x﹥a或x﹤a的形式。然后，組織學生先獨立思考，再分組討論，并由小組代表發言在全班交流，最后由教師規范統一規范寫法。在初學用不等式性質解不等式時，要讓學生每一步都考慮“我這一步的依據是什么”，這樣可以盡快熟練掌握不等式的性質，養成嚴謹的思維習慣。

在用數軸表示不等式解集時，要引導學生注意規律：大于向右畫，小于向左畫；有等號的畫實心圓點，無等號的畫空心圓圈。通過用數軸表示不等式解集一方面可以加深對不等式解集以及解不等式的理解，另一方面也為學習不等式組時用數軸確定不等式組的解集做準備。

（四）鞏固訓練、加深理解

1、按下列要求，寫出正確的不等式： (1)由-2＜-1，兩邊都加-a；

(2)由7＞5，兩邊都乘以不為零的-a．

2、判斷正誤：

（１）如果a＞b，那么ac＞bc.

（２）如果a＞b，那么ac2＞bc2.

（３）如果ac2＞bc2, 那么a＞b.

3、a是一個整數，比較a與3a的大小.

4、填空(1) ∵ 2a

, ∴a是____數

(3) ∵ ax 1 , ∴a是____數

5、利用取特殊值法解不等式問題.如果a＜b＜0,那么一定成立的不等式是（

）

(A)

(B) ab

(C)

(D)

6、（備用）若a是有理數，則下列各式中正確的是（

） （A）a2＞0

(B)若a＜2，則a2＜4 （C）若a＜0，則a2＞0

（D）若a＞-2，則a2＞4 這幾道題都是是不等式的性質的簡單應用，通過由淺入深的練習，進一步幫助學生理解不等式的性質，為下面利用不等式性質解不等式作準備。

（五）歸納小結、分層作業

1、今天你學到了什么知識？

2、應用過程中需要注意什么？ 通過學生歸納本節課的主要內容、交流學習過程中的心得體會，使學生對本節課的知識進一步加深了理解，同時積累了學習經驗，體會到了數學的思想方法。 作業：

1、看書P123—P125(補全書上留白，劃出重點內容，完成讀書筆記)

2、習題9.1第

4、

5、

6、7題

3、選作：習題9.第8題

讀書作業有利于學生養成主動復習的學習習慣，分層作業為不同認知水平的學生提供了不同的發展空間。 板書設計：

不等式的性質

不等式的性質1

例題

不等式的性質2 不等式的性質3 不等式的性質4 不等式的性質5

? 數學不等式齊次化思想總結

(一)教材分析

本節課的內容，是人教版七年級下冊第九章第二節“實際問題與一元一次不等式”。它是在學習不等式的概念、性質及其解法和運用一元一次方程(或方程組)解決實際問題等知識的基礎上，利用不等式解決實際問題。這既是對已學知識的運用和深化，又為今后在解決實際問題中提供另一種有效的解決途徑。通過實際問題的探究，讓學生學會列一元一次不等式，解決具有不等關系的實際問題。經歷由實際問題轉化為數學問題的過程，掌握利用一元一次不等式解決問題的基本過程。促進學生的數學思維意識，從而使學生樂于接觸社會環境中的數學信息，愿意談論某些數學話題，能夠在數學活動中發揮積極作用。同時向學生滲透由特殊到一般、類比、建模和分類考慮問題的思想方法。不等式與現實生活中聯系非常緊密，解決好這類應用題，有助于學生在以后的日常生活中自主靈活應用所學知識解決實際問題。

(二)學情分析

七2班班現有56名同學，部分學生基礎較差，拔尖學生少，尤其個別學生底子太薄，學生學習較為被動，預習工作做得不夠認真，同時學生學習數學的積極性不高，基本能力較差，解決問題的能力不強，知識掌握不夠扎實，運用不夠靈活。從學生學習的心理基礎和認知特點來說：學生已經在前一階段學習的學習中已經具備了實際問題建立一元一次方程和解一元一次方程的一般步驟的基礎，能進行數學建模和簡單的解釋應用。雖然初一學生對消費問題比較熱心，但由于年紀太小，缺少生活經驗，由于本節問題的背景和表達都比較貼近實際，其中有些數量關系比較隱蔽，可能會產生一定的障礙。

(三)設計的目的及意義

一元一次不等式的應用，是中學數學的重要內容，和一元一次方程應用相似，對培養學生分析問題、解決問題的能力，體會數學的價值都有較大的意義.對實際生活中的不等量關系、數量大小比較等知識，學生在小學階段已經有所了解.但用不等式表示，并對不等式的相關性質進行探究，對學生是新的內容。這些問題能培養學生思維的深刻性和靈活性，優化學生的思維品質。分組活動，先獨立思考，再組內交流，然后各組匯報討論結果，可極大調動學生的創造積極性，應把握學生的創新潛能，使不同層次的學生都能得到發展。在實施教學時，要根據課程改革的基本理念和教材特點組織教學.結合具體內容，讓學生經歷知識的形成與應用過程。

(四)實施過程

【教學目標】

知識目標：能進一步熟練的解一元一次不等式，會從實際問題中抽象出數學模型，會用一元一次不等式解決簡單的實際問題。

能力目標：通過觀察、實踐、討論等活動，積累利用一元一次不等式解決實際問題的經驗，提高分類考慮、討論問題的能力，感知方程與不等式的內在聯系，體會不等式和方程同樣都是刻畫現實世界數量關系的重要模型。

情感目標：在積極參與數學學習活動的過程中，形成實事求是的態度和獨立思考的習慣;學會在解決問題時，與其他同學交流，培養互相合作精神。

【重點難點】

重點：一元一次不等式在實際問題中的應用。

難點：在實際問題中建立一元一次不等式的數量關系。

關鍵：突出建模思想，刻畫出數量關系，從實際中抽象出數量關系。注意問題中隱含的不等量關系，列代數式得到不等式，轉化為純數學問題求解。

【教學過程】

創設情境，研究新知

老師知道，咱們班的學生特別聰明、特別棒，不等式這一章學習的特別好，下面讓我來檢測一下，看看那些同學學習的好?

(出示一個解不等式的問題，為后面新知作鋪墊)

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