教學活動：關于勾股定理的研究

編制：徐紅石審核：席美麗時間：2009年10月19日

【教學目標】

1、了解多種拼圖方法，驗證勾股定理，感受解決同一個問題方法的多樣性，進一步體會數形結合的思想以及數學知識之間內在聯系。

2通過實例了解畢達哥拉斯定理的歷史和應用，體會畢達哥拉斯定理的文化價值。

三。在克服困難、取得成功的過程中，取得了一些研究問題的經驗和方法。

【教學重點】通過自主學習發展獲得數學知識的體驗。

【教學難點】通過畢達哥拉斯定理的講解，對學生進行思想道德教育。

【教學過程】

【自學質疑】閱讀第69頁“數學活動”，按下列步驟進行：

1以2-4人為一組制定活動計劃。

2團隊成員去圖書館、學校**或教育**收集所需信息。

3、整理資料。

【交流展示】

活動1：每組成員選擇他們最喜歡的拼圖驗證方法并探索這些方法的特點。

活動2：每各小組都會派代表來展示他們的謎題并講述他們的特點。

活動3：每各小組都收集勾股數，觀察勾股數，并猜測勾股數的特征。

【精講點撥】

1. 通過探索勾股定理，驗證勾股定理，探索直角三角形的條件等活動，再通過探索推理、交流獲得結論，發展空間觀念和推理能力、歸納概括能力。回答：

①勾股定理的內容是什么?

②使用勾股定理時應注意什么？

2. 活動三:

設a 、b 、c為一組勾股數，即a2+b2=c2(a 、b 、c均為正整數)

①是勾股數嗎？試說明道理。

②當a為奇數時，則b 、c是兩個連續的正整數，且b+c = a2, 如：5，12，13，則12+13=52

7，24，25，則24+25=72

③ 當a是大于4的偶數時，b和c是兩個連續的奇數或偶數，b+c=1/2a2。

如：6，8，10，則8+10=1/2*62 8，15，17，則15+17=1/2*82

以上性質不是所有勾股數都具備的，如（9，12，15）就不具備以上性質。

【反饋矯正】

1四個直角三角形被組合成一個正確的圖形。你能根據圖的面積得到畢達哥拉斯定理嗎？

2在一張紙上畫兩個相等的直角三角形，并將它們放如圖中所示的形狀。請用兩種方法來表示這個梯形的面積。可以用您的表示得到勾股定理嗎？

分析：問題中只說兩個直角三角形，而以c為邊的三角形沒說是直角，在講解中要先說明直角證明以后，才能直接求它的面積。

【遷移引申】

完成《課課練》48頁的數學活動:

活動一：

1用兩把邊長1cm的方形剪刀做成一個大正方形，并畫出示意圖；

2.切成兩個長分別為1cm和2cm的正方形，形成一個大正方形并繪制草圖。

3.將acm和bcm的兩個正方形切成一個大正方形并繪制草圖

活動二:

活動三:

分析：這三項活動使學生在課堂上盡可能地活躍起來，充分發揮學生的聰明才智，讓學生反應自己的不同意見

總復習題13

【小結內容】

1. 你學到了那些知識？那些方法?

2. 你還有什么困惑？

? 勾股定理思想總結 ?

一、教材分析

勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的，它是直角三角形的一條非常重要的性質，是幾何中最重要的定理之一，它揭示了一個三角形三條邊之間的數量關系，它可以解決直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要根據之一，在實際生活中用途很大。教材在編寫時注意培養學生的動手操作能力和分析問題的能力，通過實際分析、拼圖等活動，使學生獲得較為直觀的印象；通過聯系和比較，理解勾股定理，以利于正確的進行運用。

據此，制定教學目標如下：

1、理解并掌握勾股定理及其證明。

2、能夠靈活地運用勾股定理及其計算。

3、培養學生觀察、比較、分析、推理的能力。

4、通過介紹中國古代勾股方面的成就，激發學生熱愛祖國與熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養他們的民族自豪感和鉆研精神。

教學重點：勾股定理的證明和應用。

教學難點：勾股定理的證明。

二、教法和學法

教法和學法是體現在整個教學過程中的，本課的教法和學法體現如下特點：

1、以自學輔導為主，充分發揮教師的主導作用，運用各種手段激發學生學習欲望和興趣，組織學生活動，讓學生主動參與學習全過程。

2、切實體現學生的主體地位，讓學生通過觀察、分析、討論、操作、歸納，理解定理，提高學生動手操作能力，以及分析問題和解決問題的能力。

3、通過演示實物，引導學生觀察、操作、分析、證明，使學生得到獲得新知的成功感受，從而激發學生鉆研新知的欲望。

三、教學程序

本節內容的教學主要體現在學生動手、動腦方面，根據學生的認知規律和學習心理，教學程序設計如下：

（一）創設情境 以古引新

1、由故事引入，3000多年前有個叫商高的人對周公說，把一根直尺折成直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。這樣引起學生學習興趣，激發學生求知欲。

2、是不是所有的直角三角形都有這個性質呢？教師要善于激疑，使學生進入樂學狀態。

3、板書課題，出示學習目標。

（二）初步感知 理解教材

教師指導學生自學教材，通過自學感悟理解新知，體現了學生的自主學習意識，鍛煉學生主動探究知識，養成良好的自學習慣。

（三）質疑解難 討論歸納

1、教師設疑或學生提疑。如：怎樣證明勾股定理？學生通過自學，中等以上的學生基本掌握，這時能激發學生的表現欲。

2、教師引導學生按照要求進行拼圖，觀察并分析；

（1）這兩個圖形有什么特點？

（2）你能寫出這兩個圖形的面積嗎？

（3）如何運用勾股定理？是否還有其他形式？

這時教師組織學生分組討論，調動全體學生的積極性，達到人人參與的效果，接著全班交流。先有某一組代表發言，說明本組對問題的理解程度，其他各組作評價和補充。教師及時進行富有啟發性的點撥，最后，師生共同歸納，形成一致意見，最終解決疑難。

（四）鞏固練習 強化提高

1、出示練習，學生分組解答，并由學生總結解題規律。課堂教學中動靜結合，以免引起學生的疲勞。

2、出示例1學生試解，師生共同評價，以加深對例題的理解與運用。針對例題再次出現鞏固練習，進一步提高學生運用知識的能力，對練習中出現的情況可采取互評、互議的形式，在互評互議中出現的具有代表性的問題，教師可以采取全班討論的形式予以解決，以此突出教學重點。

（五）歸納總結 練習反饋

引導學生對知識要點進行總結，梳理學習思路。分發自我反饋練習，學生獨立完成。

本課意在創設愉悅和諧的樂學氣氛，優化教學手段，借助電教手段提高課堂教學效率，建立平等、民主、和諧的師生關系。加強師生間的合作，營造一種學生敢想、感說、感問的課堂氣氛，讓全體學生都能生動活潑、積極主動地教學活動，在學習中創新精神和實踐能力得到培養。

勾股定理說課稿 篇4

一、勾股定理是我國古數學的一項偉大成就。

勾股定理為我們提供了直角三角形的三邊間的數量關系，它的逆定理為我們提供了判斷三角形是否屬于直角三角形的依據，也是判定兩條直線是否互相垂直的一個重要方法，這些成果被廣泛應用于數學和實際生活的各個方面。教材在編寫時注意培養學生的動手操作能力和分析問題的能力，通過實際分析，使學生獲得較為直觀的印象，通過聯系和比較，了解勾股定理在實際生活中的廣泛應用。 據此，制定教學目標如下：

1、知識和方法目標：通過對一些典型題目的思考，練習，能正確熟練地進行勾股定理有關計算，深入對勾股定理的理解。

2、過程與方法目標：通過對一些題目的探討，以達到掌握知識的目的。

3、情感與態度目標：感受數學在生活中的應用，感受數學定理的美。

教學重點：勾股定理的應用。 教學難點：勾股定理的正確使用。

教學關鍵：在現實情境中捕抓直角三角形，確定好直角三角形之后，再應用勾股定理。

二、說教法和學法

1、以自學輔導為主，充分發揮教師的主導作用，運用各種手段激發學習欲望和興趣，組織學生活動，讓學生主動參與學習全過程。

2、切實體現學生的主體地位，讓學生通過觀察，分析，討論，操作，歸納理解定理，提高學生動手操作能力，以及分析問題和解決問題的能力。

3、通過演示實物，引導學生觀察，操作，分析，證明，使學生獲得新知的成功感受，從而激發學生鉆研新知的欲望。

三、教學程序

本節內容的教學主要體現在學生的動手，動腦方面，根據學生的認知規律和學習心理，教學程序設置如下： 回顧問：勾股定理的內容是什么？ 勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，今天我們來學習這個定理在實際生活中的應用。

? 勾股定理思想總結 ?

一、教學目標

1．體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理．

2．探究勾股定理的逆定理的證明方法．

3．理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關系．

二、重點、難點

1．重點：掌握勾股定理的逆定理及證明．

2．難點：勾股定理的逆定理的證明．

3．難點的突破方法：

先讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發學生的興趣和求知欲，再探究理論證明方法．充分利用這道題鍛煉學生的動手操作能力，由實踐到理論學生更容易接受．

為學生搭好臺階，掃清障礙．

⑴如何判斷一個三角形是直角三角形，現在只知道若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題轉化為如何判斷一個角是直角．

⑵利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決．

⑶先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊A1B1=c，則通過三邊對應相等的兩個三角形全等可證．

三、課堂引入

創設情境：⑴怎樣判定一個三角形是等腰三角形？

⑵怎樣判定一個三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進行對比，從勾股定理的逆命題進行猜想．

四、例習題分析

例1（補充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

⑴同旁內角互補，兩條直線平行．

⑵如果兩個實數的平方相等，那么兩個實數平方相等．

⑶線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．

⑷直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

分析：⑴每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設和結論調換即可，但要分清題設和結論，并注意語言的運用．

⑵理順他們之間的關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假．

解略．

本題意圖在于使學生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關系．

例2（P82探究）證明：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．

分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據題意畫出圖形，然后寫已知求證．

⑵如何判斷一個三角形是直角三角形，現在只知道若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題轉化為如何判斷一個角是直角．

⑶利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決．

⑷先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊A1B1=c，則通過三邊對應相等的兩個三角形全等可證．

⑸先讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發學生的興趣和求知欲，再探究理論證明方法．充分利用這道題鍛煉學生的動手操作能力，由實踐到理論學生更容易接受．

證明略．

通過讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發學生的興趣和求知欲，鍛煉學生的動手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實踐上升到理論，提高學生的理性思維．

例3（補充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

求證：∠C=90°．

分析：⑴運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷那條邊最大．②分別用代數方法計算出a2+b2和c2的值．③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．

⑵要證∠C=90°，只要證△ABC是直角三角形，并且c邊最大．根據勾股定理的逆定理只要證明a2+b2=c2即可．

⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，從而a2+b2=c2，故命題獲證．

本題目的在于使學生明確運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷那條邊最大．②分別用代數方法計算出a2+b2和c2的值．③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．

? 勾股定理思想總結 ?

今天我說課的課題是《勾股定理》。本課選自九年義務教育人教版八年級數學下冊第十八章第一節的第一課時。

一、教學背景分析

1、教材分析

本節課是學生在已經掌握了直角三角形有關性質的基礎上進行學習的，通過20xx年國際數學家大會的會徽圖案，引入勾股定理，進而探索直角三角形三邊的數量關系，并應用它解決問題。學好本節不僅為下節勾股定理的逆定理打下良好基礎，而且為今后學習解直角三角形奠定基礎,在實際生活中用途很大。勾股定理是直角三角形的一條非常重要的性質，是幾何中一個非常重要的定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，將數與形密切地聯系起來，它有著豐富的歷史背景，在理論上占有重要的地位。

2、學情分析

通過前面的學習，學生已具備一些平面幾何的知識，能夠進行一般的推理和論證，但如何通過拼圖來證明勾股定理，學生對這種解決問題的途徑還比較陌生，存在一定的難度，因此，我采用直觀教具、多媒體等手段，讓學生動手、動口、動腦，化難為易，深入淺出，讓學生感受學習知識的樂趣。

3、教學目標：

根據八年級學生的認知水平，依據新課程標準和教學大綱的要求，我制定了如下的教學目標：

知識與能力目標：了解勾股定理的發現過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理；培養在實際生活中發現問題總結規律的意識和能力．

過程與方法目標：通過創設情境，導入新課，引導學生探索勾股定理，并應用它解決問題，運用了觀察、演示、實驗、操作等方法學習新知。

情感態度價值觀目標：感受數學文化，激發學生學習的熱情，體驗合作學習成功的喜悅，滲透數形結合的思想。

4、教學重點、難點

通過分析可見，勾股定理是平面幾何的重要定理，有著承上啟下的作用，在今后的生活實踐中有著廣泛應用。因此我確定本課的教學

重難點為探索和證明勾股定理．

二、教材處理

根據學生情況，為有效培養學生能力，在教學過程中，以創設問題情境為先導，運用直觀教具、多媒體等手段，激發學生學習興趣，調動學生學習積極性，并開展以探究活動為主的教學模式，邊設疑，邊講解，邊操作，邊討論，啟發學生提出問題，分析問題，進而解決問題，以達到突出重點，攻破難點的目的。

三、教學策略

1、教法

“教必有法，而教無定法”，只有方法恰當，才會有效。根據本課內容特點和八年級學生思維活動特點，我采用了引導發現教學法，合作探究教學法，逐步滲透教學法和師生共研相結合的方法。

2、學法

“授人以魚，不如授人以漁”，通過設計問題序列，引導學生主動探究新知，合作交流，體現學習的自主性，從不同層次發掘不同學生的不同能力，從而達到發展學生思維能力的目的，發掘學生的創新精神。

3、教學模式

根據新課標要求，要積極倡導自主、合作、探究的學習方式，我采用了創設情境——探究新知——反饋訓練的教學模式，使學生獲取知識，提高素質能力。

四、教學過程

（一）創設情境，引入新課

利用多媒體課件，給學生出示20xx年國際數學家大會的場面，通過觀察會徽圖案，提出問題：你見過這個圖案嗎？你聽說過勾股定理嗎？從現實生活中提出趙爽弦圖，激發學生學習的熱情和求知欲，同時為探索勾股定理提供背景材料，進而引出課題。

（二）引導學生，探究新知

1、初步感知定理：這一環節選擇教材的圖片，講述畢達哥拉斯到朋友家做客時發現用磚鋪成的地面，其中含有直角三角形三邊的數量關系，創設感知情境，提出問題：現在也請你觀察，看看有什么發現？教師配合演示，使問題更形象、具體。適當補充等腰直角三角形邊長為1、2時，所形成的規律，使學生再次感知發現的規律。

2、提出猜想：在活動1的基礎上，學生已發現一些規律，進一步通過活動2進行看一看，想一想，做一做，讓學生感受不只是等腰直角三角形才具有這樣的性質，使學生由淺到深，由特殊到一般的提出問題,啟發學生得出猜想，直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

3、證明猜想：是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要我們對一個一般的直角三角形進行證明．通過活動3，充分引導學生利用直觀教具，進行拼圖實驗，在動手操作中放手讓學生思考、討論、合作、交流，探究解決問題的多種方法，鼓勵創新，小組競賽，引入競爭，教師參與討論，與學生交流，獲取信息，從而有針對性地引導學生進行證法的探究，使學生創造性地得出拼圖的多種方法，并使學生在學習的過程中，感受到自我創造的快樂，從而分散了教學難點，發現了利用面積相等去證明勾股定理的方法。培養了學生的發散思維、一題多解和探究數學問題的能力。

4、總結定理：讓學生自己總結定理，不完善之處由教師補充。在前面探究活動的基礎上，學生很容易得出直角三角形的三邊數量關系即勾股定理，培養了學生的語言表達能力和歸納概括能力。

（三）反饋訓練，鞏固新知

學生對所學的知識是否掌握了，達到了什么程度？為了檢測學生對本課目標的達成情況和加強對學生能力的培養，設計一組有坡度的練習題：A組動腦筋，想一想，是本節基礎知識的理解和直接應用；B組求陰影部分的面積，建立了新舊知識的聯系，培養學生綜合運用知識的能力。C組議一議，是一道實際應用題型，給學生施展才智的機會，讓學生獨立思考后，討論交流得出解決問題的方法，增強了數學來源于實踐，反過來又作用于實踐的應用意識，達到了學以致用的目的。

（四）歸納小結，深化新知

本節課你有哪些收獲？你最感興趣的地方是什么？你想進一步研究的的問題是什么？通過小結，使學生進一步明確掌握教學目標，使知識成為體系。

（五）布置作業，拓展新知

讓學生收集有關勾股定理的證明方法，下節課展示、交流．使本節知識得到拓展、延伸，培養了學生能力和思維的深刻性，讓學生感受數學深厚的文化底蘊。

（六）板書設計，明確新知

本節課的板書設計分為三塊：一塊是拼圖方法，一塊是勾股定理；一塊是例題解析。它突出了重點，層次清楚，便于學生掌握，為獲得知識服務。

? 勾股定理思想總結 ?

教學目標

1、知識與技能目標

學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養學生的空間觀念．

2、過程與方法

(1)經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力．

(2)在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想．

3、情感態度與價值觀

(1)通過有趣的問題提高學習數學的興趣．

(2)在解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性．

教學重點：

探索、發現事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題．

教學難點：

利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題．

教學準備：

多媒體

教學過程：

第一環節：創設情境，引入新課（3分鐘，學生觀察、猜想）

情景：

如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

第二環節：合作探究（15分鐘，學生分組合作探究）

學生分為４人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。讓學生發現：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數學解決實際問題的方法：建立數學模型，構圖，計算．

學生匯總了四種方案：

（１） （２） （3）（4）

學生很容易算出：情形（１）中A→B的路線長為：AA’+d，情形（２）中A→B的路線長為：AA’+πd／2所以情形（１）的路線比情形（２）要短．

學生在情形（３）和（４）的比較中出現困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，前三種情形A→B是折線，而情形（４）是線段，故根據兩點之間線段最短可判斷（４）最短．

如圖：

（１）中A→B的路線長為：AA’+d;

（２）中A→B的路線長為：AA’+A’B>AB;

（３）中A→B的路線長為：AO+OB>AB;

（４）中A→B的路線長為：AB.

得出結論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題．在這個環節中，可讓學生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．接下來后提問：怎樣計算AB？

在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12c，底面半徑為3c，π取3，則.

第三環節：做一做（7分鐘，學生合作探究）

教材23頁

李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，

（1）你能替他想辦法完成任務嗎？

（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

第四環節：鞏固練習（10分鐘，學生獨立完成）

1．甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發，他以6/h的速度向正東行走，1小時后乙出發，他以5/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙兩人相距多遠？

2．如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．

3．有一個高為1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5米，問這根鐵棒有多長？

第五環節 課堂小結（3分鐘，師生問答）

內容：

1、如何利用勾股定理及逆定理解決最短路程問題？

第六 環節：布置作業（2分鐘，學生分別記錄）

內容：

作業：1．課本習題1．5第1，2，3題．

要求：A組（學優生）：1、2、3

B組（中等生）：1、2

C組（后三分之一生）：1

板書設計：

教學反思：

? 勾股定理思想總結 ?

以憤怒為斜邊

寂寞為股

失望為股

寂寞與失望互為交織

等邊的公平

直角的心理

股弦勾

兩股的孤獨面積

合蹦

延伸出自己走的斜邊

蜿蜒的路

掌中平原

斜高等于兩股乘積除以斜邊

從三角上割下一直

一道垂直的膿

這是古代歷法

不變

? 勾股定理思想總結 ?

教學目標：

1、知識目標：

（1）掌握；

（2）學會利用進行計算、證明與作圖；

（3）了解有關的歷史。

2、能力目標：

（1）在定理的證明中培養學生的拼圖能力；

（2）通過問題的解決，提高學生的運算能力

3、情感目標：

（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

（2）通過有關的歷史講解，對學生進行德育教育.

教學重點：及其應用

教學難點：通過有關的歷史講解，對學生進行德育教育

教學用具：直尺，微機

教學方法：以學生為主體的討論探索法

教學過程：

1、新課背景知識復習

（1）三角形的三邊關系

（2）問題：（投影顯示）

直角三角形的三邊關系，除了滿足一般關系外，還有另外的特殊關系嗎？

2、定理的獲得

讓學生用文字語言將上述問題表述出來。

：直角三角形兩直角邊 的平方和等于斜邊 的平方

強調說明：

（1）勾――最短的邊、股――較長的直角邊、弦――斜邊

（2）學生根據上述學習，提出自己的問題（待定）

學習完一個重要知識點，給學生留有一定的時間和機會，提出問題，然后大家共同分析討論。

3、定理的證明方法

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖1所示的正方形。

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖2所示的正方形，

方法三：“總統”法。如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形

以上證明方法都由學生先分組討論獲得，教師只做指導。最后總結說明

4、定理與逆定理的應用

例1 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝ ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的長。

解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由有

∴ ∠2＝∠C

又

∴

∴CD的長是2.4cm

例2 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，D是BC上任一點，

求證：

證法一：過點A作AE⊥BC于E

則在Rt△ADE中，

又∵AB＝AC，∠BAC＝

∴AE＝BE＝CE

即

證法二：過點D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F

則DE∥AC，DF∥AB

又∵AB＝AC，∠BAC＝

∴EB＝ED，FD＝FC＝AE

在Rt△EBD和Rt△FDC中

在Rt△AED中，

∴

第 1 2 頁

? 勾股定理思想總結 ?

學習目標

1、通過拼圖,用面積的方法說明勾股定理的正確性.

2.探索勾股定理的過程，發展合情推理的能力，體會數型結合的思想。

重點難點

或學習建議學習重點：用面積的方法說明勾股定理的正確.

學習難點：勾股定理的'應用.

學習過程教師

二次備課欄

自學準備與知識導學：

這是1955年希臘為紀念一位數學家曾經發行的郵票。

郵票上的圖案是根據一個著名的數學定理設計的。

學習交流與問題研討：

1、探索

問題：分別以圖中的直角三角形三邊為邊向三角形外

作正方形，小方格的面積看做1，求這三個正方形的面積?

S正方形BCED=S正方形ACFG=S正方形ABHI=

述職報告之家精選典藏:
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發現：

2、實驗

在下面的方格紙上，任意畫幾個頂點都在格點上的三角形;并分別以這個三角形的各邊為一邊向三角形外做正方形并計算出正方形的面積。

請完成下表：

S正方形BCEDS正方形ACFGS正方形ABHIS正方形BCED、S正方形ACFG、S正方形ABHI的關系

112

145

41620

91625

發現：

如何用直角三角形的三邊長來表示這個結論?

這個結論就是我們今天要學習的勾股定理：

如圖：我國古代把直角三角形中，較短的直角邊叫做“勾”，較長的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”，所以勾股定理可表示為：弦股還可以表示為：或勾

練習檢測與拓展延伸：

練習1、求下列直角三角形中未知邊的長

練習2、下列各圖中所示的線段的長度或正方形的面積為多少。

(注：下列各圖中的三角形均為直角三角形)

例1、如圖，在四邊形中，∠，∠，，求.

檢測：

1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)若a=5，b=12，則c=________;

(2)b=8，c=17，則S△ABC=________。

2、在Rt△ABC中，∠C=90，周長為60，斜邊與一條直角邊之比為13∶5，則這個三角形三邊長分別是()

A、5、4、3、;B、13、12、5;C、10、8、6;D、26、24、10

3、若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm,第三邊長為16cm,那么第三邊上的高為()

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

4、要登上8m高的建筑物，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物6m，至少需要多長的梯子?(畫出示意圖)

5、飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4千米處，過了20秒，飛機距離這個男孩5千米，飛機每小時飛行多少千米?

課后反思或經驗總結：

1、什么叫勾股定理;

2、什么樣的三角形的三邊滿足勾股定理;

3、用勾股定理解決一些實際問題。

? 勾股定理思想總結 ?

本課時是北師大版八年級（上）數學第14章第二節內容，是在掌握勾股定理的基礎上對勾股定理的應用之一。 勾股定理是我國古數學的一項偉大成就。勾股定理為我們提供了直角三角形的三邊間的數量關系，它的逆定理為我們提供了判斷三角形是否屬于直角三角形的依據，也是判定兩條直線是否互相垂直的一個重要方法，這些成果被廣泛應用于數學和實際生活的各個方面。教材在編寫時注意培養學生的動手操作能力和分析問題的能力，通過實際分析，使學生獲得較為直觀的印象，通過聯系和比較，了解勾股定理在實際生活中的廣泛應用。 據此，制定教學目標如下：

1。知識和方法目標：通過對一些典型題目的思考，練習，能正確熟練地進行勾股定理有關計算，深入對勾股定理的理解。

2。過程與方法目標：通過對一些題目的探討，以達到掌握知識的目的。 3。情感與態度目標：感受數學在生活中的應用，感受數學定理的美。 教學重點：勾股定理的應用。 教學難點：勾股定理的正確使用。 教學關鍵：在現實情境中捕抓直角三角形，確定好直角三角形之后，再應用勾股定理。

1。以自學輔導為主，充分發揮教師的主導作用，運用各種手段激發學習欲望和興趣，組織學生活動，讓學生主動參與學習全過程。 2。切實體現學生的主體地位，讓學生通過觀察，分析，討論，操作，歸納理解定理，提高學生動手操作能力，以及分析問題和解決問題的能力。 3。通過演示實物，引導學生觀察，操作，分析，證明，使學生獲得新知的成功感受，從而激發學生鉆研新知的欲望。

本節內容的教學主要體現在學生的動手，動腦方面，根據學生的認知規律和學習心理，教學程序設置如下： 一?；仡檰枺汗垂啥ɡ淼膬热菔鞘裁矗?勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，今天我們來學習這個定理在實際生活中的應用。 二。新授課例1。如圖所示，有一個圓柱，它的高AB等于4厘米，底面周長等于20厘米，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面與A點相對的.C點處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路線是多少？（課本P57圖14。2。1）

①學生取出自制圓柱，，嘗試從A點到C點沿圓柱側面畫出幾條路線。思考：那條路線最短？ ②如圖，將圓柱側面剪開展成一個長方形，從A點到C點的最短路線是什么？你畫得對嗎？ ③螞蟻從A點出發，想吃到C點處的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路線是什么？

思路點撥：引導學生在自制的圓柱側面上尋找最短路線；提醒學生將圓柱側面展開成長方形，引導學生觀察分析發現“兩點之間的所有線中，線段最短”。 學生在自主探索的基礎上興趣高漲，氣氛異常的活躍，他們發現螞蟻從A點往上爬到B點后順著直徑爬向C點爬行的路線是最短的！我也意外的發現了這種爬法是正確的，但是課本上是順著側面往上爬的，我就告訴學生：“課本中的圓柱體是沒有上蓋的”。只有這樣課本上的解答才算是完全正確的。例2。（課本P58圖14。2。3） 思路點撥：廠門的寬度是足夠的，這個問題的關鍵是觀察當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH，點D在離廠門中線0。8米處，且CD⊥AB， 與地面交于H，尋找出Rt△OCD，運用勾股定理求出CD= = =0。6，CH=0。6+2。3=2。9>2。5可見卡車能順利通過 。詳細解題過程看課本 引導學生完成P58做一做。 三。課堂小練 1。課本P58練習第1，2題。 2。探究： 一門框的尺寸如圖所示，一塊長3米，寬2。2米的薄木板是否能從門框內通過？為什么？

四。小結直角三角形在實際生活中有更為廣泛的應用希望同學們能緊緊抓住直角三角形的性質，學透勾股定理的具體應用，那樣就能很輕松的解決現實生活中的許多問題，達到事倍功半的效果。

? 勾股定理思想總結 ?

1教學內容分析

勾股定理是九年制義務教育教科書八年級下冊第十七章的內容，是幾何中幾個重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數量關系。它在數學的發展中起過重要的作用，在現時世界中也有著廣泛的作用。學生通過對勾股定理的學習，可以在原有的基礎上對直角三角形有進一步的認識和理解。

2學情分析

針對八年級學生的知識結構、心理特征及學生的實際情況，可選擇引導探索法，由淺入深，由特殊到一般地提出問題。引導學生自主探索，合作交流，這種教學理念反映了時代精神，有利于提高學生的思維能力，能有效地激發學生的思維積極性，借此培養學生動手、動腦、動口的能力，使學生真正成為學習的主體。

3教學目標

（一）知識與技能

1、體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單的問題。

（二）過程與方法

1、讓學生經歷用面積法探索勾股定理的過程，體會數形結合的思想，滲透觀察、歸納、猜想、驗證的數學方法，體驗從特殊到一般的邏輯推理過程。

（三）情感態度與價值觀

1、通過了解勾股定理的歷史，激發學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想，激勵學生發奮學習。

2、讓學生體驗自己努力得到結論的成就感，體驗數學充滿了探索和創造，感受數學之美，探究之趣。

4重點與難點

重點：會用勾股定理求直角三角形的邊長

難點：勾股定理的探索過程

5課前準備

多媒體課件

6教學過程

6.1第一學時

教學活動

活動1

【導入】欣賞圖片，了解歷史

2002年在北京召開了第24屆國際數學家大會，它是最高水平的全球性數學科學學術會議，被譽為數學界的“奧運會”．這就是本屆大會的會徽的圖案．

（1）你見過這個圖案嗎？

（2）你聽說過“勾股定理”嗎？

學生活動：學生觀察圖片，發表見解。

資源準備：教師演示多媒體課件

設計意圖：從現實生活中提出“趙爽弦圖”，為學生能夠積極主動地投入到探索活動創設情境，激發學生學習熱情，同時為探索勾股定理提供背景材料。

活動2【講授】探索勾股定理

探究一：探索直角三角形三邊的特殊關系：

（1）畫一直角三角形，使其兩邊滿足下面的條件，測量第三邊的長度，完成下表；

直角三角形1

直角邊一a=3

直角邊二b=4

斜邊c=？

猜想三邊關系滿足關系：

直角三角形2

直角邊一a=5

直角邊二b=？

斜邊c=13

猜想三邊關系滿足關系：

（2）猜想：直角三角形的三邊關系為

探究二：如果下圖中小方格的邊長是1，觀察圖形，完成下表，并與同學交流：你是怎樣得到的？

思考：每個圖中正方形的面積與三角形的邊長有何關系？歸納得出勾股定理。

勾股定理：

直角三角形等于

幾何語言表述：

如圖，在RtΔABC中，C＝90°，則：

若BC=a，AC=b，AB=c，則上面的定理可以表示為：

學生活動：在獨立探究的基礎上，學生分組交流。

資源準備：教師演示多媒體課件

設計意圖：滲透從特殊到一般的數學思想。為學生提供參與數學活動的時間和空間，發揮學生的主體作用；培養學生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學生在相互欣賞、爭辯、互助中得到提高。

活動3【講授】證明勾股定理

是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要我們對一個一般的直角三角形進行證明．到目前為止，對這個命題的證明方法已有幾百種之多．下面，我們就來看一看我國數學家趙爽是怎樣證明這個命題的。

（1）以直角三角形ABC的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形．你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？

（2）面積分別怎樣表示？它們有什么關系呢？

例1：已知，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊

為a、b、c。求證：a2＋b2=c2。

分析：

⑴讓學生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，

讓學生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。

⑵拼成如圖所示，其等量關系為：

4S△+S小正=S大正

2ab＋（b－a）2=c2

化簡可證

學生活動：學生在獨立思考的基礎上以小組為單位，動手拼接。

資源準備：教師演示多媒體課件

設計意圖：通過拼圖活動，調動學生思維的積極性，鍛煉學生的動手實踐能力，為學生提供從事數學活動的機會，建立初步的空間觀念，發展形象思維。通過對定理的證明，讓學生確信定理的正確性。

活動4【練習】簡單應用勾股定理解題

1、求下圖中字母所代表的正方形的面積

2、求出下列各圖中x的值。

3、如圖所示，強大的臺風使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處。旗桿折斷之前有多高？

4、如圖，點C是以AB為直徑的半圓上一點，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積是多少？

學生活動：學生獨立思考完成

設計意圖：教師利用學生已有的知識創設問題情境，有針對性地引導學生進行練習，為學習勾股定理在實際生活中的應用做好鋪墊。

活動5【作業】總結反思，布置作業

1、本節課你有哪些收獲？

2、還有哪些疑問？

3、作業：略

學生活動：學生歸納、總結談感受

設計意圖：通過小結能為學生從能力、情感、態度等方面關注學生對課堂整體感受，在輕松愉快的氣氛中體會收獲的喜悅。

活動6【講授】板書設計

勾股定理

一、定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，

斜邊為c，那么

二、證明：略

三、應用：

活動7【作業】教學反思

本節課涉及了大量的有關勾股定理的背景知識，學生可以感受到勾股定理所蘊含的濃郁的數學文化。教學中應聆聽學生發言，尊重學生發展。積極引導學生深挖細究，體現過程方法。教學中應著力激發學生學習數學的興趣，也要注重自主探索與合作交流，同時還要注意數學思想方法的滲透，為學生今后的發展拓展了空間。

17.1勾股定理

課時設計課堂實錄

17.1勾股定理

1第一學時教學活動活動1【導入】欣賞圖片，了解歷史

2002年在北京召開了第24屆國際數學家大會，它是最高水平的全球性數學科學學術會議，被譽為數學界的“奧運會”．這就是本屆大會的會徽的圖案．

（1）你見過這個圖案嗎？

（2）你聽說過“勾股定理”嗎？

學生活動：學生觀察圖片，發表見解。

資源準備：教師演示多媒體課件

設計意圖：從現實生活中提出“趙爽弦圖”，為學生能夠積極主動地投入到探索活動創設情境，激發學生學習熱情，同時為探索勾股定理提供背景材料。

活動2【講授】探索勾股定理

探究一：探索直角三角形三邊的特殊關系：

（1）畫一直角三角形，使其兩邊滿足下面的條件，測量第三邊的長度，完成下表；

直角三角形1

直角邊一a=3

直角邊二b=4

斜邊c=？

猜想三邊關系滿足關系：

直角三角形2

直角邊一a=5

直角邊二b=？

斜邊c=13

猜想三邊關系滿足關系：

（2）猜想：直角三角形的三邊關系為

探究二：如果下圖中小方格的邊長是1，觀察圖形，完成下表，并與同學交流：你是怎樣得到的？

思考：每個圖中正方形的面積與三角形的邊長有何關系？歸納得出勾股定理。

勾股定理：

直角三角形等于

幾何語言表述：

如圖，在RtΔABC中，C＝90°，則：

若BC=a，AC=b，AB=c，則上面的定理可以表示為：

學生活動：在獨立探究的基礎上，學生分組交流。

資源準備：教師演示多媒體課件

設計意圖：滲透從特殊到一般的數學思想。為學生提供參與數學活動的時間和空間，發揮學生的主體作用；培養學生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學生在相互欣賞、爭辯、互助中得到提高。

活動3【講授】證明勾股定理

是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要我們對一個一般的直角三角形進行證明．到目前為止，對這個命題的證明方法已有幾百種之多．下面，我們就來看一看我國數學家趙爽是怎樣證明這個命題的。

（1）以直角三角形ABC的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形．你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？

（2）面積分別怎樣表示？它們有什么關系呢？

例1：已知，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊

為a、b、c。求證：a2＋b2=c2。

分析：

⑴讓學生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，

讓學生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。

⑵拼成如圖所示，其等量關系為：

4S△+S小正=S大正

2ab＋（b－a）2=c2

化簡可證

學生活動：學生在獨立思考的基礎上以小組為單位，動手拼接。

資源準備：教師演示多媒體課件

設計意圖：通過拼圖活動，調動學生思維的積極性，鍛煉學生的動手實踐能力，為學生提供從事數學活動的機會，建立初步的空間觀念，發展形象思維。通過對定理的證明，讓學生確信定理的正確性。

活動4【練習】簡單應用勾股定理解題

1、求下圖中字母所代表的正方形的面積

2、求出下列各圖中x的值。

3、如圖所示，強大的臺風使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處。旗桿折斷之前有多高？

4、如圖，點C是以AB為直徑的半圓上一點，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積是多少？

學生活動：學生獨立思考完成

設計意圖：教師利用學生已有的知識創設問題情境，有針對性地引導學生進行練習，為學習勾股定理在實際生活中的應用做好鋪墊。

活動5【作業】總結反思，布置作業

1、本節課你有哪些收獲？

2、還有哪些疑問？

3、作業：略

學生活動：學生歸納、總結談感受

設計意圖：通過小結能為學生從能力、情感、態度等方面關注學生對課堂整體感受，在輕松愉快的氣氛中體會收獲的喜悅。

活動6【講授】板書設計

勾股定理

一、定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊為c，那么

二、證明：略

三、應用：

活動7【作業】教學反思

本節課涉及了大量的有關勾股定理的背景知識，學生可以感受到勾股定理所蘊含的濃郁的數學文化。教學中應聆聽學生發言，尊重學生發展。積極引導學生深挖細究，體現過程方法。教學中應著力激發學生學習數學的興趣，也要注重自主探索與合作交流，同時還要注意數學思想方法的滲透，為學生今后的發展拓展了空間。

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