初中數學放縮思想總結（實用16篇）

發表時間：2024-11-30

初中數學放縮思想總結（實用16篇）。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

由于數學教學的本質是數學思維活動的展開，因此數學課堂上學生的主要活動是通過動腦、動手、動口參與數學思維活動。我們不僅要鼓勵學生參與，而且要引導學生主動參與，才能使學生主體性得到充分的發揮和發展，只有這樣，才能不斷提高數學活動的開放度。這就要求我們在教學過程中為學生創造良好的主動參與條件，提供充分的參與機會，具體應注意以下幾點：

（1）、巧創激趣情境，激發學生的學習興趣。

教學實踐證明，情心創設各種教學情境，能夠激發學生的學習動機和好奇心，培養學生的求知欲，調動學生學習的積極性和主動性，引導學生形成良好的意識傾向，促使學生主動地參與。

（2）、運用探究式教學，使學生主動參與。

教學中，在以教師為主導的前提下，堅持學生是探究的主體，根據教材提供的學習材料，伴隨知識的發生、形成、發展的全過程進行探究活動，教師著力引導學生多思考、多探索，讓學生學會發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，只有這樣，才能使學生品嘗到自己發現的樂趣，才能激起他們強烈的求知欲和創造欲。只有達到這樣的境地，才會真正實現學生的主動參與。

（3）、運用變式教學，確保其參與教學活動的持續熱情。

變式教學是對數學中的定理和命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯系的一種教學設計方法。通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，促使其產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。

在應用題教學中，我們分析時也要聯系實際，以取得較好的效果。

１、創設情景，并利用圖解分析

這實際是一種模擬法，具有很強的直觀性和針對性，數學教學中運用得非常普遍。如工程問題、速度問題、調配問題等，多采用畫圖進行分析，通過圖解，幫助學生理解題意，從而根據題目內容，設出未知數，列出方程解之。

２、親身體驗法

如講逆水行船與順水行船問題。有很多學生都沒有坐過船，對順水行船、逆水行船、水流的速度，學生難以弄清。為了讓學生明白，我舉騎自行車為例（因為大多數學生會騎自行車），學生有親身體驗，順風騎車覺得很輕松，逆風騎車覺得很困難，這是風速的影響。并同時講清，行船與騎車是一回事，所產生影響的不同因素一個是水流速，一個是風速。這樣講，學生就好理解。同時講清：順水行船的速度，等于船在靜水中的速度加上水流的速度；逆水行船的速度，等于船在靜水中的速度減去水流的速度。

３、直觀分析法

如濃度問題，首先要講清百分濃度的含義，同時講清百分濃度的計算方法。其次重要的是上課前要準備幾個杯子，稱好一定重量的水，和好幾小包鹽進教室，以便講例題用。

如：一杯含鹽15％的鹽水200克，要使鹽水含鹽20％，應加鹽多少呢？分析這個例題時，教師先當著學生的面配制15％的鹽水200克（學生知道其中有鹽30克），現要將15％的鹽水200克配制成20％的鹽水，老師要加入鹽，但不知加入多少重量的鹽，只知道鹽的重量發生了變化。這樣，就可以根據鹽的重量變化列方程。含鹽20％的鹽水中，含鹽的總重量減去原200克含鹽15％的總重量，就等于后加的鹽重量。即設應加鹽為ｘ克，則（200＋ｘ）×20％－200×15％＝ｘ解此方程，便得后加鹽的重量。

其次，在教學過程中，教與學必須有一個和諧步驟，形成一個完整的教學步驟來實施素質教育，使學生學得積極主動，真正成為學習的主人。其中，在課堂上提出的問題要擊中思維的燃點，這樣不但能對全體學生的認知系統迅速喚醒，從而提高單位時間里的學習效率。學生因情境的巧妙刺激，學習熱情激發起來，萌芽學習興趣，認知系統開始運轉。為了提高學生的學習數學的興趣，培養學生的創新精神和創新能力，與課程改革的發展要求相適應。

一方面應從思想工作著手，要學生學會尊重老師。特別要注意：教師要禁止體罰學生。這樣很容易讓學生對老師離心離德，那就談不上搞好教學了，但愛學生同時又應對學生嚴格要求，他們有錯誤絕不可聽之任之，該及時批評就得批評，方式就是講道理，影響一個學生的最好方式莫過于真心真誠的關懷與幫助。例如當有后進學生成績跟不上或受不良影響，我找他們來首先指出他的不足，讓他們認識其結果的嚴重性，同時用啟發式辦法幫他們找出解決問題的途徑，同時千方百計把他們的注意力引向學習方面，重點是樹立學數學的信心與興趣，要讓他們知道，老師決不嫌棄他們，是站在他們這一邊的，有一點也很重要，就是優良的班風與周圍的學習氣氛對引導后進生進步起事半功倍的效果，這就需要班主任與課任老師的有效配合，沒有這些，個人再努力也是不行，管理學生是一門藝術，我目前仍在探索。只有當以上思想工作基本過關了，奏效了，才能使教學效果上去。

另一方面，應注重教學，可從以下六點入手：

第一點：總體把握教學要點，如該學年，該學期有哪些知識點，重點是什么，難點是什么，這樣在平常教學中才有目標。

第二點：注意和學生一起探索各種題型，我發現學生都有探求未知的特點，只要勾起他們的求知欲與興趣，學習勁頭就上來了，如每節課后如有時間，我都出幾題有新意，又不難的相關題型，與學生一起研究。

第三點：每節新課后注意反饋，主要作業與小測中發現學生掌握知識的不足之處，及時加以訂正。

第四點：要進行一定數量的練習，我反對題海戰術，但用相當數量題目進行練習卻是必要的，練習時要有目的，抓基礎與重難點，滲透數學思維，強調一點是老師在練習要注重學生數學思維的形成與鍛煉，有了一定的思維能力與打好基礎，可以做到用一把鑰匙開多道門。

第五點：就是考前復習中要認真研究與整理出考試要考的知識點，重難點，要重點復習的題目類型，難度，深度。這樣復習時才有的放矢，復習中什么要多抓多練，什么可暫時忽略，這一點很重要，會直接影響復習效果與成績。當然，要做到這一點，并把握得準，必須要有相當長時間的經驗積累與總結，甚至挫折，否則不行。而我仍在不斷摸索中，但我相信，只要肯下功夫，就會有所領悟。

第六點：抓好后進生工作，后進生會影響全班成績與平均分，所以要花力氣使大部分有希望的后進生跟得上。例如在課后，只要有時間，我一般會留部分成績不足的學生再進行一次復習講解或小測，時間不要太多，十幾或二十分鐘，但一學期下來，就積少成多，對提高成績會有幫助，但要注意兩點，一是其它科任老師協調好時間，二是被留下的學生的思想工作要過關，以免因被留下產生抵觸情緒，就會影響復習效果。以上六點教學方面的看法只有根據自身與本班實際情況綜合運用，有機結合，才可能有一定效果。教與學是雙長的，教的技巧怎樣高，也需要學的配合，對于現代中專生學習基礎較差，怎樣讓他們以更好的學來配教，需要不斷地探索前行。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

數學，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，從某種角度看屬于形式科學的一種。下面是小編為你帶來的初中數學教學中滲透數學思想方法研究，歡迎閱讀。

數學的思想方法來源于生活，它由人們從數學教材中提煉出來，屬于數學理論的精華部分。數學思想方法將知識轉化成邏輯能力并應用于生活實踐，通常運用于人類認識活動，具有普遍指導意義，成為人們解決數學問題的根本思維方法。在數學學科中，相比于數學知識點，數學思想方法更為重要，所以教師要緊抓關鍵，將數學思想方法融入數學課堂，提高學生的數學思維水平。

一、數學思想方法融入課堂教學的現狀和問題

目前，教學實踐仍舊無法擺脫傳統教學理念的束縛，教師無法在課堂中正確滲透數學思想方法，不能體會數學教學的精髓。在學習過程中，學生也不能認識數學思想方法的重要性，一味注重教材，而無法高效學習。初中數學教學在“傳道，授業，解惑”理念的影響下止步不前，教師一味講授教材知識點，忽視數學思想方法，課后強化輔導訓練，以致學生應接不暇，作業完成質量差，對教材知識點理解不透徹。在新課改背景下，教師嘗試在數學課堂中融入數學思想方法，然而沒有正確引導，導致學生對數學思想方法一知半解，不能掌握數學思想方法內涵和學以致用。數學學科的思想方法，包括數形結合、分類、化歸、統計等，它們都是解決問題的有效途徑，但是教師不能使數學思想方法與課堂教學有效融合，導致課堂教學效率降低。

二、在初中數學教學中滲透數學思想方法

1。引入數學史。數學史著重于研究數學學科發生、發展及規律變化，也是數學的發展歷史。除了數學思想方法的發展演變之外，數學史還致力于探索數學結論的多種影響因素及數學成果對人類社會文明發展的推動程度。數學史探討數學發展規律，有利于學生掌握數學基本概念和理論知識。在數學教學中，教師應靈活運用數學史進行教學補充和指導，幫助學生建立數學認知，加深數學認識，掌握數學思想方法，從而在數學學習上不走或少走彎路。例如，在講“軸對稱”時，教師在備課時要準備好軸對稱圖形發現過程及其理論發展的歷史，讓學生學習古人的數學思想方法，拓寬學生的視野，培養學生的數學邏輯思維，使學生對軸對稱圖形幾何性質的了解更加深入。

2。創設問題情境。在教學中，教師要創設數學問題情境，以導入教學，營造數學學習氛圍，引導學生自主思考，提出問題，解決問題，總結反思。例如，在講“不等式與不等式組”時，教師可以引導學生思考：課本上的解法是如何得出的，它的關鍵步驟在哪，自己為何沒有想出，還有沒有更好、更簡便的解題方法，這種方法適用性強不強？學生迅速融入課堂，數學思維能力得以加強。重要的是，教師要在學生的思考過程中扮演“引路人”的角色，引導他們加深對數學思想方法的認知。

3。課堂練習———以學為重。數學解題要在大腦中迅速尋找數學知識點，合理聯系、靈活運用，簡便處理初始條件和知識點，在條件與結論間搭建橋梁，靈活運用數學思想方法分析、解決問題。在課堂和課后，教師要注重“一題多解”練習，發散學生的`數學思維，使學生能夠靈活變通地解決數學問題。學生運用數學思想方法，對知識點的理解更加深刻。數學教學要求學生掌握一題多解、化歸、轉化、數形結合、類比、歸納等數學思想方法，它們在解題思路分析中是不可或缺的。在課堂、課后練習中，教師應當重視學生的解題思維訓練，培養學生探索解題思路的習慣，使學生的思維更加邏輯化、合理化、敏捷化。

三、鞏固數學思想方法教學效果

復習教學是鞏固教學效果的重要環節。根據新課程標準要求，數學復習教學要緊扣教材知識體系，深化數學思想，及時鞏固知識點。例如，在復習“一次函數”時，教師要及時深化函數思想教學，鞏固知識點。函數知識體系以變化為前提，變量是函數的關鍵，教師要利用“變化”的過程，讓學生感受函數思想的內涵。在數學小結與復習中，教師要向學生展示知識點之間的內在聯系和相關性，還要幫助學生進行歸納提煉，使學生熟練掌握函數內容中的數學思想，鞏固教學效果。教師要引導學生主動思考，思考知識點如何產生、為何產生，如何展開討論、證明，核心是什么以及如何應用它解決實際問題。通過這樣的思維培養，教師可以及時鞏固數學思想方法融入課堂教學的成果，提高數學課堂教學效率，培養學生的邏輯思維和解題能力?？傊?，教師要重視在數學教學中滲透數學思想方法的研究，使學生深化對數學基本概念、公式、定理的理解，優化解題方法和解題過程，提高教學效率。在初中數學教學中，教師要結合課本內容和學生實際情況滲透數學思想方法，提高學生的數學邏輯思維能力，促使學生靈活運用數學思想方法解決實際問題。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

尊敬的各位領導，老師大家好。今天我代表第三初級中學初二數學組的全體老師和大家一起做經驗交流，如果有欠缺之處，請各位老師批評指正。眾所周知，三中位于瓦市的郊區，由于地域的原因，學苗相對差些。我們面對這樣的學生群體，更是費盡心思，從各方面提高我們的教學水平，我們總結了以下四個方面：

1、注重集體備課

我們學校每周二次集備時間，我們每個人都很珍惜這樣的學習機會，在集備過程中，大家一起討論，對共性問題每個人都會毫不保留的發表自己的見解，相互參考，很多時候，每個人都會提出一套獨立的教學方法和教學模式，不但實現了一題多解，而且實現了同種類型題的不同教法，我們一起探計每種教法的長處和短處，綜合到一起，最終形成一套較為合理的優秀的上課教案來。我們經常探討優等生的拔高，中等生的提高，學習困難學生的及格率。我們十分注重后兩者的課堂接受情況，分層次教學，實現了高效課堂的教學目標。我們甚至向學習困難學生詢問課堂接受情況是否需要再多講幾遍。把詢問的結果拿到集備中來。一起討論下一步的教學內容和教學方法，我們還在集備中，探討對學生作業的布置，體現分層次教學。做到了讓每一種層次的學生都能吃飽、吃好，實現課堂教學成果的最大化。

2、多聽課，學習有經驗教師的教學方法。

教學水平的提高在于努力學習，積累經驗。不在于教學時間的長短，但是老教師具有豐富的教學經驗，積累了許多教學技巧。我們應該學習，另外在聽課的同時，認真做好記錄，并進行評課。聽完課后寫聽課心得，這樣會揚長避短，使自己盡快的成長起來。

3、鉆研教材

我們在熟悉教材的基礎上講授本課程的內容。在課堂上，如果出現學生跟不上老師時。我們會立即停止下一項教學內容。我們寧可放棄本節課的教學目標，也要讓學生把不懂的地主弄會，做到學生沒聽懂就不往下講，直到學生聽懂了，學會了，掌握了為止。我們方可以進行下一個教學內容，實現有效務實的課堂教學。

4、多與學生勾通

配合班主任對學生進行教育，使他們在課堂上時刻保持高度的注意力，做到有效聽課。對于數學學習有困難的同學多與他們談心，讓孩子覺得有親近感，近而親近數學學習。使整個班級形成濃厚的學習數學的風氣。對于優秀的.學生，在難題方面要求他們必須做會，不會不行，讓這種理念滲透到每一個學生心中，讓他們不斷地挑戰自己，考驗自己，從而戰勝自己。以上是我們三中數學組在教學中的一點體會，我們會繼續努力。爭取取得更好的成績。謝謝大家！

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

數形結合不僅使幾何問題獲得了有力的代數工具,同時也使許多代數問題具有了顯明的直觀性。數形結合是初中數學中十分重要的思想,在數學問題的解決中具有數學獨特的策略指導與調節作用。例如,二元一次方程組的圖像解法,把數量關系問題轉化為圖形性質問題;A,B兩地之間修建一條100千米長的公路,C處是以C點為中心,方圓50千米的自然保護區,A在C西南方向,B在C的南偏東30度方向,問公路AB是否會經過自然保護區?

當然,初中數學所涉及到的數學思想不止這五種。以上只是本人對初中數學常見的幾種數學思想的淺見,在今后的教學實踐中本人將更加重視與加強對學生進行數學思想的數學,提高學生的解題能力,培養學生的數學素養。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

一學期的教學教研工作已經結束?；仡櫼粚W期的教學教研工作，我們有著幾分充實、幾分感概。本學期，我們教研組的工作本著“為了學生服務，為了自己的提高”的理念的奮斗目標，在全體數學教師們兢兢業業的工作中扎扎實實、卓有成效地開展著。現將一學期的工作小結如下：

一、教學常規工作管理：

從整體優化出發，加強教學工作的五個環節的管理。為進一步發揮教研組、備課組的功能，開學初，我組積極響應學校的號召，明確樹立集體質量意識，信息資源共享，認真落實了集體備課制度，各備課組至始至終都能認真執行，各教師的教案都較為規范，質好量足。全體教師在精選習題的基礎上，認真做好批改工作，力求做到及時反饋矯正，講求實效。

二、教研組建設：

根據學校的工作計劃，結合本組的特點，經過全組教師的熱烈討論，制定了工作目標和具體計劃，有定期的教研活動制度、備課制度、相互聽課制度、教研組活動記錄。為使新教師早日成長，具體安排了新能掛鉤對象，老教師無私傳授，新教師虛心好學。組內教研氣氛濃厚，每位教師聽課都在20節以上。組內年輕教師都積極參加各種進修、培訓活動。全組教師團結協作，凝聚力強，有良好的師德師風。

我們的具體作法如下：

1、集體備課、資源共享：

為了節省老師的備課時間，發揮每位老師的特點，同仁之間互相學習、互相借鑒，本學期數學組采用了集體分節備課，每位老師在這個基礎上，根據自己的特點、風格再進行修改，在教學上體現出自己的個性，教案力求符合下列要求：

①、教學目標應有：認知目標、技能目標和情感教育目標，確定數學思想及數學方法的培養目標，提高學生的思維能力及創新能力，通過引導與規范管理，使學生養成良好的學習習慣。

②、教學設計應以課程標準為準繩，根據教學目標和本校的學生特點安排教材，要深入理解教材，突出重點、分散難點，對不同層次的學生要有不同層次的教學內容及不同的教法。

③、課堂模式百花齊放。

2、認真上好每一節課：

為了在課堂教學中落實素質教育，從發展的要求看，就不僅要讓學生“學會”數學，更重要的是讓學生“會學”數學，具備在未來工作中科學地提出問題、探索問題、創造性地解決問題的能力，所以我們要求老師在教學過程中要時時考慮對學生進行學習指導，本學期重點是學習方法的指導，指導的要點是怎樣聽課、怎樣做作業和怎樣復習，為了能更好地體現學生的主體地位，要求教師引導學生參與教學活動，必須給學生自主參與活動的時間和空間，為了能上好每一節課，根據我校硬件的優勢、優化教

學手段、提高教學效果，每位老師都制作了課件，為了上好一節課，每位老師都準備了學案。

3、課后輔導：

批改作業是教學工作中的一件繁重的工作，每天都要用兩個小時的時間來批改一百多本作業，采用的形式是統批、面批、學生互批、講評等，每位老師還都利用中午午休及下班后的時間針對學習成績差、有困難的學生進行個別輔導，老師們的工作態度令人欽佩。

4、課堂教學案例研究：

教學案例是改進教學的抓手，是教師專業成長的階梯，是理論聯系實際的中介，本學期以備課組為單位，做了一個教學的案例研究，通過這個活動，讓全組教師都投入到教研活動之中。通過這次活動一方面要學習別人的成功經驗；另一方面要結合自己的教學實踐，積累反思的素材，調整、優化自己的教學決策和行為，提高課堂教學效益。

三、存在的不足及今后努力的方向：

我們教師們的聽課及評課的基本功仍有待于進步，對于聽課的方向、聽課前準備以及聽課時所要觀察的要領（即：聽什么？看什么？想什么？）這三個問題都不能很好地掌握；再者我們評課仍較停留在點上，未能從全面的進行綜合分析評課。

方向：采用每次開課由一位教師做為主評，其他老師做為輔評以提高評課的能力。還可以多觀看名教師的教學課堂錄像，再讓老師們對所觀看的錄像做出綜合的評析及談談自己的若干建議。

總之，“學無止境、教無止境、研無止境”短短的12個字充分概括了我們教學教研的方向與精髓,唯有我們在這浩瀚的教海中乘風破浪、勇于開拓，才能在課程改革的礁石上激起一朵朵美麗的浪花。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

學習物理的方法很多，綜合和分析是一般的思維方式，有時采用特殊方法進行思考，可以使問題簡單化。下面粗略介紹幾種供同學們選擇。

1、因素分析法：運用有關物理公式，列出與問題有關的和類關系式，了解不變因素，分析問題涉及的變量，作出解答，例如同一物體在同一水平面上分別以5米/秒的速度和1米/秒的速度作勻速直線運動，摩擦力的大小怎樣變化。

2、圖示法，認真審題，把題設景象通過畫圖表示出來，便如力學中受力分析示意圖，光學中的光路圖，電學中的電路圖。

3、極端法有意擴大變量差異，擴大變化可使問題更加明顯，易辯加深對問題的討論。例如測量中的誤差。

4、整體法。把研究的幾個相關聯的對象作為一個整體考慮，可化簡為易。

5、反證法：對一些命題舉出反例給予否定。對于“一定”“肯定”等字眼特別有效。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

本人本學期擔任初一（93）（94）兩班數學課教學。一學期的工作已經結束，為了總結經驗，尋找不足?，F將一學期的工作總結如下：

一、加強學習，提高思想認識，樹立新的理念。

堅持每周的政治學習和業務學習，緊緊圍繞學習新課程，構建新課程，嘗試新教法的目標，不斷更新教學觀念。注重把學習新課程標準與構建新理念有機的結合起來。通過學習新的《課程標準》，認識到新課程改革既是挑戰，又是機遇。將理論聯系到實際教學工作中，解放思想，更新觀念，豐富知識，提高能力，以全新的素質結構接受新一輪課程改革浪潮的“洗禮”。

二、通過學習新的《課程標準》，使自己逐步領會到“一切為了學生的發展”的教學理念。

樹立了學生主體觀，貫徹了民主教學的思想，構建了一種民主和諧平等的新型師生關系，使尊重學生人格，尊重學生觀點，承認學生個性差異，積極創造和提供滿足不同學生學習成長條件的理念落到實處。將學生的發展作為教學活動的出發點和歸宿。重視了學生獨立性，自主性的培養與發揮，收到了良好的效果。

三、教學工作是學校各項工作的中心，也是檢驗一個教師工作成敗的關鍵。

一學期來，在堅持抓好新課程理念學習和應用的同時，我積極探索教育教學規律，充分運用學?，F有的教育教學資源，大膽改革課堂教學，加大新型教學方法使用力度，取得了明顯效果，具體表現在：

四、備課深入細致。

平時認真研究教材，多方參閱各種資料，力求深入理解教材，準確把握難重點。在制定教學目的時，非常注意學生的實際情況。教案編寫認真，并不斷歸納總結經驗教訓。

五、注重課堂教學效果。

針對初二年級學生特點，以愉快式教學為主，不搞滿堂灌，堅持學生為主體，教師為主導、教學為主線，注重講練結合。在教學中注意抓住重點，突破難點。

堅持參加校內外教學研討活動，不斷汲取他人的寶貴經驗，提高自己的教學水平。經常向經驗豐富的教師請教并經常在一起討論教學問題。聽公開課多次，自己執教二節公開課，尤其本學期，自己執教的公開課，學校領導和教師們給我提出了不少寶貴的建議，使我明確了今后講課的方向和以后數學課該怎么教和怎么講。

在作業批改上，認真及時，力求做到全批全改，重在訂正，及時了解學生的學習情況，以便在輔導中做到有的放矢。

工作中存在的問題：

1、教材挖掘不深入。

2、教法不靈活，不能吸引學生學習，對學生的引導、啟發不足。

3、新課標下新的教學思想學習不深入。對學生的自主學習，合作學習，缺乏理論指導。

4、差生末抓在手。由于對學生的了解不夠，對學生的學習態度、思維能力不太清楚。上課和復習時該講的都講了，學生掌握的情況怎樣，教師心中無數。導致了教學中的盲目性。

要搞好初中數學教學，取得良好的教學效果，必須認真研究初中教學的各種規律，并加以有機綜合，形成適應自身教學的有效方法，以我近幾年的教學經驗與體會，覺得從以下兩大方面出發，教學成績應是可以上去的。

第一方面應從思想工作著手，我覺得要教好學生，應先讓他們尊重老師，這也是做學生的基本準則，所以我第一天當他們老師起，就首先要求他們尊重與理解老師的要求，但要達到這一點，并不容易，教師要運用自己各方面能力，包括個人品格，口才，知識各方面吸引孩子，因為學生喜歡一個幽默，知識廣博，品德高尚，善解人意，肯助人的老師，讓他們覺得老師就是正義與公理的化身，他們也最肯服這樣的老師。

有一點要特別注意：就是絕對禁止打罵學生，這樣很容易讓學生對老師離心離德，那就談不上搞好教學了，但愛學生同時又應對學生嚴格要求，他們有錯誤絕不可聽之任之，該及時批評就得批評，方式就是講道理，影響一個學生的最好方式莫過于真心的關懷與幫助。例如當有后進學生成績跟不上或受不良影響，我找他們來首先指出他的不足，讓他們認識其結果的嚴重性，同時用啟發式辦法幫他們找出解決問題的途徑，同時千方百計把他們的注意力引向學習方面，重點是樹立學數學的信心與興趣，要讓他們知道，老師決不嫌棄他們，是站在他們這一邊的，有一點也很重要，就是優良的班風與周圍的學習氣氛對引導后進生進步起事半功倍的效果，這就需要班主任與課任老師的有效配合，沒有這些，個人再努力也是不行，管理學生是一門藝術，我目前仍在探索。

只有當以上思想工作基本過關了，奏效了，才能使教學效果上去。對于教學方面，我主要從以下六點入手：

第一點：總體把握教學要點，如該學年，該學期有哪些知識點，重點是什么，難點是什么，這樣在平常教學中才有目標。

第三點：，每節新課后注意反饋，主要作業與小測中發現學生掌握知識的不足之處，及時加以訂正。

作為一個數學教師，我目前仍在不斷探求有更好效果的教學方法，我雖沒有教改，實際上已是"半個教改"，我的教學是"常規"與"教改"相結合，并博采眾長，不斷改進，爭取更好成績。

以上是我對數學教學的幾點看法，僅供交流。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

上課要以聽講為主，有筆記本，有些東西要記下來。寫下知識結構，好的解題方法，好的例題，不太懂的地方等等。課后要整理筆記，一方面是為了“消化好”，另一方面是要補充筆記。

學習資料學習資料應妥善保管，分類并做好標記。學習資料的分類包括習題、試卷、實驗報告等。

時間是寶貴的。沒有它，什么都做不了，所以要注意充分利用時間，這是一門高超的藝術。

要向別人學習，虛心向別人學習，向同學學習，向身邊的人學習，看別人是怎么學習的，經常在學術上與他們交流，相互教與學，共同提高。永遠不要自以為是。

要重視知識結構，系統掌握，把零散的知識系統化。從物理的整體知識結構到力學的知識結構，甚至到章節，比如靜力學的知識結構等等。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

當面臨的數學問題不能以統一的形式解決時,可以把涉及的范圍分解為若干個分別研究問題局部的解。然后通過組合各局部的解而得到原問題的解,這種思想就是分解組合思想,其方法稱為分類討論法。

分解組合,是重要的數學思想之一。對于復雜的計算題、證明題等,運用分解組合的思想方法去處理,可以幫助學生進行全面嚴謹的思考和分析,從而獲得合理有效的解題途徑。例如,等腰三角形兩邊長分別是4和5,求這個等腰三角形的周長。解決本題首先分類討論:①若4為底,則5為腰,三邊長分別為4,5,5,可以構成三角形,此時周長為14;②若5為底,則4為腰,三邊長分別為5,4,4,可以構成三角形,此時周長為13。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

針對后進生的狀況,首先應從情感上入手,感化他們積極主動地學習。數學后進生智力水平不差,只不過他們的學習數學的積極性沒有調動起來,沒有挖掘出他們學習的潛力。教師有責任感化他們、努力挖掘他們的優點,鼓勵和調動他們主動學習主動思考的積極性。從情感上:第一要尊重和關心學生。后進生往往表現有些孤獨和矛盾的感覺,一方面他們有學習好的愿望,另一方面又不知怎樣能學好,往往在學習上具有恐懼心理,不愿意和老師交談。在上一屆初二學生中學生余某、唐某數學成績很差并且厭學，我利用課余時間與他們交心，從拉家常入手到最后成為朋友并適時鼓勵他們努力學習，他們很快改掉了以往的壞習慣，積極學習，逐漸甩掉了“差生”的帽子，取得很好的效果。第二要樹立學生信心。數學后進生往往有憂郁、消極和自卑的心理。因此作為數學教師,決不能讓他們“破罐子破摔”,要注意這些學生的表現和心理變化,以鼓勵為主,要鼓勵和支持他們積極參加教學活動,不要遏制和打消他們的進取心，要幫助他們樹立必勝的信心。如上學期競選數學興趣小組組長時,我先是看哪些學生自己愿意當,在很多同學都愿意當的情況下,我并沒有選擇數學成績比較突出的學生當組長,而是選定了成績稍差的學生張某任組長，因為他有這個愿望,就說明他有學習好和能勝任組長工作的想法和決心。自從張某當上組長后學習更努力了，并逐漸趕上了數學成績拔尖的學生。第三要嚴格要求學生。對后進學生的愛護、關心和尊敬不等于對他們放縱和放松。對所有學生的要求和規定都是一樣的,比如我要求我的學生都不能曠課、遲到、早退,不能不寫作業,不要抄襲作業等。但是對他們所犯錯誤仍然要給悔改的機會,如有些學生沒及時寫作業我就讓他們補上,補上后仍然給他們批改。通過我們的嚴格要求，督促學生努力學習。

“萬丈高樓從地起”,學生基礎知識的掌握就顯得尤為重要，打好基礎要注意兩方面的工作：一是強化基本理論和概念。對于后進生來說他們學不好數學的主要原因就是基本概念不理解,基礎知識掌握不好。針對這種情況，我在常規教學后單獨抽時間幫他們把概念講細、講清、講透,引導他們挖掘概念所體現出來的有關知識點，及時提示和補充忘記的知識。二是重視直觀教學。數學具有很強的邏輯性和抽象性,后進生由于他們接受能力差,教學中教師應盡量地能將抽象的問題具體化,復雜的問題簡單化，盡量讓學生通過感官的接觸更直觀地了解和掌握知識。如我在教學三角形和四邊形時我就自制了相關的教具或利用學校已有的教具；在教學平移和旋轉時就充分利用多媒體進行演示；在講概率的計算時,讓他們做擲骰子實驗。通過直觀的感受和實際接觸,使他們對所學知識容易理解和接受,激發了他們學習數學的主動性和培養了學習興趣。這也是我們數學教師在教學中要不斷明確和深入思考的問題。

教師要結合本班學生實際，確定不同層次學生的學習目標，目的是使每一個學生的思維都能處在“跳一跳”能摘到“桃子”的境地。針對后進生教師要做好專門的安排。第

對回答問題和練習中出現的問題，要耐心輔導，幫助他們克服困難和樹立信心，逐步提高練習的質量。

A組題優等生完成，B組題有中等生完成，C組題由后進生完成。目的是使不同層次的學生都能得到鍛煉，從而達到共同提高。第

讓優等生當后進生的老師，利用課余時間輔導后進生，這樣既有利于同學之間的團結，又提高了后進生的思維能力和計算能力。使后進生感到集體的溫暖，從而發奮學習。當然，對于數學后進生的教學，并不是說做好了這幾點后進生就一定上進了，這是一個系統的、持續的、緩慢的過程。這就要求我們數學老師在這方面要制定一個系統的教學計劃，并按這個計劃長期堅持下去，不能半途而廢。做到與后進生共同努力，一點一點地進步，以達到預期的對后進生的轉化。以上只是筆者個人的拙見，對于數學后進生的教學，我相信我的同行們有更多的、有效的方法，還望同行們不吝賜教！

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

學習物理離不開圖形，從運用力學知識的機械設計到運用電磁學知識的復雜電路設計，都是主要依靠“圖形語言”來表述的。知識的條理化，分析解決問題的思路等問題，用通常意義上的語言或文字表達都是有局限性和低效率的。所以，按照科學的方法動手畫圖是學習物理的重要方法，而且對今后進一步學習現代科學技術有著重要意義。

在初中物理課里，同學們會學到力的圖示、簡單的機械圖、電路圖和光路圖?！按缶V”要求的畫圖主要分兩部分：一部分畫圖屬于作圖類型題，比方說，作光路圖、作力的圖示、作力臂圖以及畫電路圖等等;另一部分，根據現成的圖形學會識圖，所謂識圖是指要注意結合條件看圖，不僅要學會把復雜的圖形看簡單(即分析圖形)，更要學會在復雜的圖形中看出基本圖形。例如，在計算有關電路的習題時，已給出的電路圖往往很難分析出來是串聯、并聯或是混聯，如果能熟練地將所給出的電路圖畫成等效電路圖，就會很容易地看出電路的連接特點，使有關問題迎刃而解。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

當學習過的知識增多時，就很容易記錯、記混。因此，可試著按照課文和某些輔導材料中繪制的框架圖去幫助記憶和理解。

有時，適當地對概念進行分類，可以使所學的內容化繁為簡，重點突出，脈絡分明，便于自己進行分析、比較、綜合、概括;可以不斷地把分散的概念系統化，不斷地把新概念納入舊概念的系統中，逐步在頭腦中建立一個清晰的概念系統，使自己在學習的過程中少走彎路。通過這種方法，不但能夠加深對基礎知識的理解，而且還能收到事半功倍的效果。

學習有法，但學無定法。在學習物理的道路上，愿你結合自己的特點獨立做題要獨立地(指不依賴他人)，保質保量地做一些題。獨立解題，可能有時慢一些，有時要走彎路，但這是走向成功必由之路。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

數”的產生成為人類文明發展的一個重要的標志。人類從識別事物多寡的原始的數覺能力，到抽象的“數”概念的形成，經歷了一個緩慢漸進的過程。

第一次擴充：分數的引進；第二次擴充：0的引進；第三次擴充：負數的引進；第四次擴充：無理數的引進；第五次擴充：復數的引進。

從原有數集擴充到新數集所遵循的原則：原數集是擴充后新數集的真子集；原數集定義的元素間的關系和運算在新數集中同樣地被定義；原數集中的元素在新數集中定義的運算結果與在原數集中的運算結果一致，且基本運算律保持；在原數集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數集中能夠施行；新數集是滿足上述四條的數集中的最小數集。擴充方法：一種是把新引進的數加到已建立的數系中而擴充。另一種是從理論上創造一個集合，即通過定義等價類來建立新數系，然后指出新數系的一個部分集合與以前數，一種新的數，也就實現了數系的一次擴張。引入了負數，就實現了這個數系關于加減運算的自封閉。

有理數有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點分別標設為0和1。正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。對于分母q的有理數，就可以用把單位區間q等分的那些分點表示。每一個有理數都可以找到數軸上的一點與之對應。

無理數的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實現了數系的又一次擴張，可以滿足數學上開方運算的需要，實現了實數系關于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個有理數都將全部有理數分為兩類，使得第一類中每個數都小于第二類中的任一個數，這個分類的有理數可以算在兩類的任何一類中。利用這個分割法可以得到無理數的定義。

所建立的數系是同構的。

自然數的兩大基本理論：基數理論和序數理論

基數理論當我們把所有表示數量的符號放在一起就得到了一個集合，我們稱之為“數集”，為了度量“數集”當中表示數量的符號個數，我們首先要定義一個概念就是“基數”。19世紀中葉，數學家康托以集合理論為基礎提出了自然數的基數理論。等價集合的共同特征稱為基數。對于有限集合來說，基數就是元素的個數。自然數就有有限集合A的基數叫做自然數。記作“”。當集合是有限集時，該集合的基數就是自然數?？占幕鶖稻褪?。而一切自然數組成的集合，我們稱之為自然數集，記為N。

序數理論皮亞諾1889年建立了自然數的序數理論，進而完全確立了數系的理論。是根據一個集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數集里的元素按1、2、……這樣一種基本關系而完全確定下來。

定義非空集合N中的元素叫做自然數,如果N的元素之間有一個基本關系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：

（1）0∈N；

（2）0不是N中任何元素的后繼元素；

（3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；

（4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；

（5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構成的系統稱為皮亞諾公理系統，它就是自然數系。

自然數0是作為空集的標記。在空集中，“0”作為記數法中的空位，在位置制記數中是不可缺少的。

自然數系所蘊含的思想

對應思想（可數的集合）自然數建立在對應概念之上，而且對應的思想也成為自然數的一個重要性質。一一對應關系是集合論中建立兩個集合“相等”關系的一個重要概念。（導致了俗稱“理發師悖論”的羅素悖論的發現）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，后又經過德國弗芝克爾改進形成了一個無矛盾的集合論公理系統（ZF公理系統）。數位思想

位置制記數法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數的排列，以表示不同的數。用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進位位置制記數之產生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。

負數的數學含義至少包括如下幾個方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負

數學符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數學符號的意義在于：有了數學符號，才使得抽象的數學概念有了具體的表現形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數學思維能以直觀的、簡約的形式表現出來。

字母代表數代數，原意就是指“文字代表數”的學問。使得許多算術問題可以轉換為代數方程問題求解。根本的內涵是“未知數的符號x可以和數一樣進行四則運算。文字代表數的真正價值在于：字母能夠和數字一起進行四則運算和乘方、開方，進行指數、對數、三角等運算，乃至對字母進行微分、積分運算等等。

解析式數字、字母、運算符號按照一定規律有意義地結合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規律和變形規則。解析式可以區分為兩大類：一類是只含有代數運算的解析式叫代數式，沒有開方運算的代數式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運算的整式稱為單項式，否則稱為多項式。另一類是包含初等超越運算的解析式統稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數式、對數式、三角函數式、反三角函數式。

解析式的恒等變形把一個給定的解析式變換為另一個與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因為它們對一切數，代入式都相等。但是，解方程時的同解變形，不是恒等變形，。代數式數學的符號語言

代數式是在數系基礎上發展起來的。在初等代數中，所涉及的運算可分為兩大類：1代數運算2初等超越運算：指數是無理數的乘方、對數、三角、反三角運算。

定義，在一個解析式中，如果對字母只進行有限次代數運算，那么這個解析式就稱為代數式；如果對字母進行了有限次的初等超越運算，那么這個解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進一步分類：只含有加、減、乘、除、指數為整數的乘方運算的代數式稱為有理式；其余的代數式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱為整式（或多項式），其余的有理式稱為分式。

“數”發展到“式”的意義導致了運算形式化、程序化及規則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數系的擴大化問題。將抽象的符號運算應用到更一般的對象上，開辟了構造數學的新方向，為抽象代數學的發展埋下了伏筆，成為近代數學的顯著特征。

數學符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質的特征，從而具有代表性和一般性。另一個重要的屬性在于它的形象性。數學符號不但精確地表示數學抽象，而且是抽象內涵的簡約形象。等式和方程

（一）方程的含義“含有未知數的等式叫方程”。這個定義簡單明了，為大家所習用。不過，這個定義有不足。“方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系?！卑逊匠痰暮诵膬r值提出來了，即為了尋求未知數。

判斷一個代數式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數。方程的概念一般用于兩個領域：“求某個未知數的數”和“曲線與方程”在這兩個領域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個數（或解集的大?。┡c方程的存在域的大小有直接關系。

方程的分類依照方程解的個數分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個解、有無窮多個解和全體實數解等。方程按照它所含有的未知數的個數來分類：集。兩個不等式的解集相同，則稱這兩個不等式是同解的。

不等式有三個基本性質：1不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實際應用在運動變化過程中，如果用函數模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關系，是更普遍存在的狀態。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應用。不等式蘊含的思想

（一）模型思想與相等現象相比，不等現象是現實世界中更為普遍的現象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

方程借助用字母表示數的代數思想，將未知數同已知數一起描述問題的代數表達形式，形成了方程的基本思想。

方程思想具有很豐富的含義，其核心體現在：一是模型思想，二是化歸思想。學習方程內容最主要的事情集中在兩個方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關于方程建模大自然的許多客觀規律都表現為量與量之間的某種關系，將它表示出來往往就是一個方程式。初中方程的教學不能過分地停留在數學層面上必須使學生真正體會到數學與現實生活密不可分的聯系。體會方程是一種用數學符號提煉現實生活中的特定關系的過程。必須學會抽象將關系抽象為數學符號。

方程設計思想的思路先進行生活中的提煉，然后到數學表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。

初中數學方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。

等式與方程的關系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式

學習的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規律。其次，研究不等式可以導致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個區域。

不等關系與相等關系既是矛盾獨立的，也是相互統一的。不等關系往往可以等價地轉化為相等關系加以解決。

不等式的含義兩個實數或代數式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實數代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內的實數代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實數值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當不等號兩邊的解析式都是代數式時，稱為代數不等式；兩邊的解析式至少有一個是超越式時，稱為超越不等式。不等式解集表示方法

不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個不等式解集的交集叫做不等式組的解集。

一個不等式的解集表示方法1數軸表示法即在數軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區間表示法即用區間來表示不等式的解

刻畫不等現象的有力模型。通過分析實際問題中的數量關系，列出不等式，通過解不等式得到實際問題的答案，這就體現了不等式的模型思想。同時，這種模型經常與函數、方程聯系在一起，三者都是刻畫現實世界中量與量之間變化規律的重要模型，在解決實際問題時，要合理選擇這三種重要的數學模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價”關系。這是一種辯證關系。恰當地運用這種思想可以輕松地化解相當多的問題。（三）數形結合思想根據題意可列出不等式組，運用數軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數形結合思想。函數

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型。

1755年，歐拉首次給出了函數變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后面的變量變化時，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數。”由此演變為目前的函數的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個變量，如果對它的每一個值，都有未知量W的每一個值與之對應，則稱W是Z的函數。”。1939年，布爾巴基學派主借用了笛卡兒積建立關系，進而定義函數：

1）對

中每一個元素

，存在

，使

；

（2）若且，則。函數記作：”分別稱以上函數定義為變量說、對應說和關系說。函數概念的核心思想

數學的核心是研究關系，即數量關系、圖形關系和隨機關系。函數研究的是兩個變量之間的數量關系：一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也發生變化，這就是函數表達的數量之間的對應關系。其中有三點是重要的，一是變量的取值是實數；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數字以外的符號表示函數。函數的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。

解析式是最常用的方法，適用于表示連續函數或者分段函數。解析式有利于研究函數性質，構建數學模型，但對初學者來說也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數的形態，有利于分析函數的性質，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數可因題而議。中學數學研究的函數性質

數學中研究函數主要是研究函數的變化特征。中學階段主要研究函數的周期性，也涉及

奇偶性；在高中階段主要研究函數的單調性、周期性，也討論某些函數的奇偶性。（一）函數的周期性周期性反映了函數變化周而復始的規律。是中學階段學習函數的一個基本的性質。周期函數是刻畫周期變化的基本函數模型，使我們集中研究函數在一個周期里的變化，了解函數在整個定義域內的變化情況。

（二）函數的奇偶性函數的奇偶性也是我們在中學階段學習函數時要研究的函數的性質，但它不是最基本的性質。奇偶性反應了函數圖形的對稱性質，可以幫助我們用對稱思想來研究函數的變化規律。

（三）函數的單調性單調性是討論函數“變化”的一個最基本的性質。從幾何的角度看，就是研究函數圖像走勢的變化規律。函數與其它內容的聯系

（一）函數與方程用函數的觀點看待方程可以把方程的根看成函數與x軸交點的橫坐．解析幾何的產生與發展

笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數對的對應，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產生了?，F代幾何的產生與發展

人們不斷發現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數學課程中的幾何學內容

（一）直觀幾何幾何學是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維。“形象思維”也就是強調幾何直觀。

（二）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關系時，不能僅僅依靠直觀實驗的方法，標，即零點的橫坐標。方程可看作函數的局部性質，求方程的根就變成了求函數圖形與x軸的交點問題。

（二）函數與數列數列是特殊的函數。它的定義域一般是指非負的正整數集，有時也可以為自然數集，或者自然數集的子集。數列通常稱為離散函數。等差數列是線性函數的離散化，而等比數列是指數函數的離散化。

（三）函數與不等式我們首先確定函數圖像與x軸的交點（方程f(x)=0的解），再根據函數的圖像來求解不等式。

（四）函數與線性規劃是最優化問題的一部分，從函數的觀點看，首先，要確定目標函數，用目標函數來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標函數的可行域。最后，討論目標函數在可行域（由約束條件確定的定義域）內的最值問題。

解線性規劃問題，可歸結為以下算法：第一步，確定目標函數；第二步，確定目標函數的可行域；第三步，確定目標函數在可行域內的最值。函數模型

函數是對現實世界數量關系的抽象，是建立思想模型的基礎，具有良好的普適性和代表意義?，F實生活中，普遍存在著最優化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數建模的思想進行解決。在運用一次函數知識和方法建模解決時，有時要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。

在實際的教學中，除了使學生了解所學習的函數在現實生活中有豐富的“原型”之外，還應通過實例介紹或讓學生通過運算來體驗函數模型的多樣性。

通過實例，讓學生體會、感受數據擬合在預測、規劃等方面的重要作用，使學生們學會用數學的知識、思想方法、數學模型解決實際問題，提高運用數學的能力．要鼓勵學生收集一些社會生活中普遍使用的函數模型的實例進行探索實踐．第二章圖形與幾何四個基本階段。

實驗幾何的形成和發展

人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經驗事實之間的聯系，形成了實驗幾何。理論幾何的形成和發展

柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎，歐幾里德按照嚴密的邏輯系統編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。

以一些原始概念和公理為出發點，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數公理，但是，主要立足邏輯進行幾何概念及其性質的分析研究，這就是演繹幾何。

（三）度量幾何對一些圖形進行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當的延伸。（四）變換幾何也叫運動幾何。這個領域主要討論平移、旋轉、反射等剛體運動，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標系。坐標系將幾何對象和數、幾何關系和函數之間建立了密切的聯系，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關系的研究了。

經驗幾何所謂經驗幾何，通常是直觀幾何、實驗幾何的通稱，它特別關注學生幾何活動經驗的積累，以及幾何直覺的發展。經驗幾何的作用

幾何學是研究現實世界物體的形狀、大小和位置關系的學科,而后發展成為研究一般空間結構、圖形關系的學科。

（一）經驗幾何則是發現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直覺思維和創造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經驗幾何是學習推理論證幾何的必要前提。

學習的內容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實驗幾何的充分學習，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺性的了解、操作性的了解，進而形成幾何推理。

另一方面，我們用來作為推理基礎的幾何性質，一部分是利用實驗歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質進行“推論”而導出的結果。

（三）實驗幾何是幾何學習的一個階段和一種認知水平，更是一種幾何學習方法?？傊?，實驗幾何作為幾何學習的一個階段，在學生幾何學習過程中起到承上啟下的銜接作用；同時，實驗幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學習的一種有益于發現真理、幾何直觀幾何直觀具有發現功能，同時也是理解數學的有效渠道。數學概念經過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數學對象為基礎進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標和可應用性要求,這要求數學的直觀與形式的統一，才使得數學的完美。

幾何直觀及其作用《數學課程標準》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述

和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。

幾何直觀對于學生的數學發展非常重要：

首先，幾何直觀是一種創造性思維，是一種很重要的科學研究方式，在科學發現過程中起到不可磨滅的作用。對于數學中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數學家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數學發現的向導，隨著現代科技的發展，幾何直觀在計算機圖形學、圖象處理、圖象控制等領域都有誘人的前景。

其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎,有助于學生對數學的理解。

借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創造了一個自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積

物體的表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區域具有一定的大小，對一個二維圖形的表面進行度量以后，用一個“數”標志它的大小，稱這個數為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規定為1平方米。

于是，對于邊長為整數a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個邊長為1米的正方形，進而，這個矩形就由ab個單位正方形組成，從而，這個矩形的面積為ab平方米（整數）。如果矩形的邊長A，B是無理數，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數逼近無理數，an→A,bn→B。依據anbn→AB，以及有理數邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。

這個過程實際上論證了“邊長相等的兩個矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機會，揭示經驗的策略，創設不同的數學情景，使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程；使學生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數學觀。

最后，幾何直觀是揭示現代數學本質的有力工具，有助于形成科學正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質和關系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數學創造性工作歷程，能夠開發學生的創造激情，形成良好的思維品質。

直觀幾何主要包含哪些內容

以大量豐富的實例為背景，通過觀察、操作來探索認識基本圖形的性質。這些基本圖形主要包括點、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規作圖、視圖和投影等。這些內容構成直觀幾何的重要組成部分。經驗幾何的具體研究內容

初中幾何的主要課程教學目標在于，“積累幾何活動經驗，發展幾何直觀、空間觀念，進一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發展幾何直觀、積累幾何活動經驗、培養空間觀念，則是經驗幾何的核心目標。按照初中階段的經驗幾何認識過程的不同，通常可以將經驗幾何的學習內容，分成認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉換、在運動與變換中研究幾何圖形的有關性質三部分。度量幾何幾何學起源于圖形大小的度量。根據圖形的維數，把度量一維圖形大小的數稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標志三維圖形大小的數。線段長度是一切度量的出發點。

長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數。1960年以后，用激光定義“米”。

目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權度大會重新把國際標準制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內在真空中所走的長度，稱為“米”。

如果可以用一個線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數倍，我們稱兩個線段M，N是可公度的。

輾轉相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個線段減去短的那個線段，如此輾轉截取，直到兩個線段一樣長，這個長度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學派，發現正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度?！?/p>

比”。

海倫-秦九韶公式

劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個相等的圓，把它們等分成相同的若干個全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個鋸齒形互相嵌入即成一個近似的矩形。份數分得愈多，其結果愈接近矩形，這個矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質或物體所占空間的大小。

（1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內，如果被度量的幾何體恰好被a個正方體填滿，那么這個幾何體的體積就等于幾個單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關公式計算出這個幾何體的體積。“面積公理”與測度公理

既然圖形是一個集合，而相應的圖形的面積是一個數，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個函數。這個集合函數顯然是非負函數，而且正方形的面積是1。當然，兩個不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個圖形的面積之和。最后，如果圖形經過移動、旋轉、反射，其面積應該不變。這些性質放在一起，就成為面積公理的內容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實上，這個結論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節變換幾何

變換就是一個集合到另一個集合的映射。幾何變換、變換群的概念

幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學的研究有重要作用。

變換群。實際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個群，就有相應的幾何學，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質與不變量，就是相應幾何學的主要內容。

在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

全等變換

如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個全等的圖形上每兩個對應三角形有相反的方向，并且每兩個對應的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個相似圖形的每對對應三角形有同一的方向,每對對應角有同一方向。反演變換

在平面內設有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個異于O點的點P，將其變從認知規律看，幾何學習的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認→演繹推理→度量計算。

歐幾里得與演繹幾何

公理化方法淵源于幾何學，而幾何學起源于埃及。

希臘數學家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內容豐富，結構嚴謹，對于幾何學的發展和幾何學的教學都起了巨大的作用，它被人們贊譽為歷史上的科學杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進行處理的利弊得失

《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點P/，且使OP/OP=R，這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應，它使位于圓內的點變成圓外的點,位于圓外的點變成圓內的點，反演中心變成平面內的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變。空間反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉，反射平移、旋轉與反射的初步描述

圖形相似的思想方法體現在圖形相似的概念、性質和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結為如下五個方面：

（1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現出化歸思想

（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。

（3）結構相同，即“同構”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。

（4）圖形相似提供了認識三角形的另一個途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構成元素的認識。

（5）借助必要的工具和手段是學好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關系

（一）平移、旋轉、反射變換是全等變換

（二）平移、旋轉都可以由若干次反射（軸對稱）的復合而得到。

對于平移、旋轉和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發現，其中，軸對稱（變換）更為基本。

（1）對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的`結果等同于一次平移；

（2）對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結果等同于一次旋轉，旋轉中心就是兩條對稱軸的交點。反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉，可以通過連續的兩次軸對稱來完成。

（3）任意一個合同變換至多可表示為三個反射的乘積。第五節演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結構方面，這是一個十分杰出的典范。正因為如此，自本書問世以來，思想家們為之而傾倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現代科學產生的一個主要因素?？茖W絕不僅僅是把經過細心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已?？茖W上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經驗同試驗進行結合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理?？梢钥隙ǖ卣f，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現在歐洲，而不是東方?；蛟S，使歐洲人易于理解科學的一個明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數學知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。

歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數學原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學家都效仿歐幾里得，說明他們的結論是如何從最初的幾個假設邏輯地推導出來的。許多數學家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進行比較，情況尤為令人矚目。多少個世紀以來，中國在技術方面一直領先于歐洲。但是，從來沒有出現一個可以同歐幾里得對應的中國數學家。其結果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數學理論體系（中國人對實際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個世紀的時間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。

如今，數學家們已經認識到，歐幾里得的幾何學并不是能夠設計出來的惟一的一種內在統一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經創立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經認識到，在實際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學無法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當特殊的。在大多數情況下，歐幾里得的幾何學可以給出十分近似于現實世界的結論。不管怎樣，人類知識的這些最新進展都不會水削弱歐幾里得學術成就的光芒。也不會因此貶低他在數學發展和建立現代科學必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發你少年時代的科學熱情，那你肯定不是天才科學家。”由此可見，《原本》一書對人類科學思維的影響是何等巨大。

從數學教育的角度看，歐幾里得的邏輯結構是串聯型而不是放射型的，《原本》的每一節都那么重要，一節學不好，繼續前進的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認為難學的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數學課程教學改革的焦點?！对尽穾缀醢酥行W所學習的平面幾何、立體幾何的全部內容。如此古老的幾何內容，自然成了歷次數學課程改革關注的焦點。其中，最為激進的，如法國布爾巴基學派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內容，仍然構成了多數國家中小學數學幾何部分的主要內容。有人稱之為“不倒翁現象”。這是因為，歐氏幾何從數學的視角，提供了現實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們人類的生存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關系。所以，這個模型的基本內容是學生能夠理解和掌握的，而且應用廣泛的基礎知識。它比三種幾何的關系

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。

義務教育階段幾何課程內容的基本定位義務教育階段幾何課程設計的特點簡析義務教育階段幾何課程設計的特點與以往的綜合幾何課程設計風格相比，《數學課程標準》下的幾何已經將直觀幾何和實驗幾何的觸角伸向了小學低年級，同時歐氏幾何的體系和內容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學生學習，也有利于引導中小學生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。

盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學習價值，但在以往的教學中，它又確實逐步暴露出一些問題，例如，內容體系比較封閉，脫離實際，教學代價太大等等。①這些問題需要數學課程的設計者與數學教學的實踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學法方面的改進。首先是內容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實用價值和對繼續學習發揮基礎作用的內容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實與幾何應用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現代數學的觀點，高屋建瓴地處理傳統的內容。其中幾何圖形的運動變換觀點就是這樣的重要觀點之一。

從國際上數學課程改革的歷程來看，第二次世界大戰以后，特別是在上世紀60年代的“新數學”改革的浪潮中，將運動觀點引入幾何，成了一種時尚。確實，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進變換能使圖形動起來，有助于發現圖形的幾何性質。相關的許多實驗，有的因觀點太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應思想的滲透，在某種意義上給傳統算術與代數注入了新的血液，那么，運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數學觀點和更新的研究視野。

對第五公設是否獨立的研究導致了非歐幾何的發現。

非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數學分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何

家羅巴切夫斯基發現非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設與歐氏系統的其余公理是獨立無關的。黎曼幾何

歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。制，另一方面體現在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時，弱化了的部分也還會在高中繼續出現。

新理念下義務教育階段幾何課程設計的突出特點體現為：以“立體平面立體”為主要線索，強調與學生生活的聯系；適當地拓寬活動領域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調學生的直觀體驗學習的方法；注重發展的空間觀念，發展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經驗基礎之上的幾何推理的學習。

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。

推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發，按照規定的法則證明（包括邏輯和運算）結論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性。

直觀幾何、實驗幾何課程設計特點與綜合幾何的差異

與綜合幾何相比，直觀幾何、實驗幾何有著更現實的意義和課程設計的特色：

1．不同的課程目標和價值取向

從課程設計的角度看，直觀幾何與實驗幾何更接近于認知發展取向的課程設計模式，而綜合幾何屬于典型的學術主義價值取向的課程設計模式。

2．不同的教育學、心理學基礎和不同的師生關系

以論證為主的綜合幾何課程設計，立足于行為主義心理學，主張師生之間建立“以教為主、以教促學”的師生關系。相比之下，直觀幾何、實驗幾何課程設計觀認為，有意義的幾何教學應當建立在學生的主觀意愿和知識、經驗基礎之上，依賴學生的動手實踐、自主探索和交流合作，教師在教學中的角色應該定位在學習的組織者、引導者和合作者、參與者，注意學生在學習中所處的不同文化環境、教室文化、社區文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學生之間應該努力構建一種和諧、互動的新關系。

3．不同的課程設計風格

在課程論中，課程有學科型課程與經驗型課程之分。除了學科型課程和經驗型課程外，大多數課程介于兩者之間。直觀幾何、實驗幾何屬于典型的經驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學科型課程。當前，我國實行的義務教育課程標準實驗教科書大多介于學科型課程與經驗型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛”，而有的更靠近前者，“中規中矩”。

4．不同的教學要求

在直觀幾何、實驗幾何課程實施過程中，學生的直觀感受和幾何活動經驗是學習的基本出發點和必不可少的載體，而且直觀教學變得十分重要。在這種課程設計時，有的是在抽象的學科主線中不斷閃現出內容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學是研究平面圖形的形狀、大小和位置關系的科學，培養和提高學生識圖、作圖能力是學好幾何的必要環節。因而，在直觀幾何、實驗幾何課程設計模式下，采用直觀教學至關重要，可使學生一開始便進入到直觀教學所創設的情盡管全國初中數學課程標準實驗教科書彼此之間都有差異，但是，發展幾何直觀與推理

能力是普遍趨勢。第三章統計與概率

準確理解數學、概率、統計之間的關系

（一）研究問題的出發點不同數學研究的對象是從現實生活中抽象出來的數和圖形。數學研究問題必須有定義，即數學研究問題的出發點是定義，沒有定義無法進行數學的研究。統計研究所依賴的是模型，構建一些模型的基礎上進行研究。但是，統計與數學有著密切的聯系，我們拿來數學的很多知識、思想方法作為統計分析的工具。

（二）研究問題的立論基礎不同從數量和數量關系這個角度考慮，數學是建立在概念和符號的基礎上的。而統計學是建立在數據和模型的基礎上，雖然概念和符號對于統計學的發展也是重要的，但是統計學在本質上是通過數據和模型進行推斷的。

境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現情景，給學生以鮮明生動的形象，學生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理

新理念下義務教育階段幾何課程設計的突出特點體現為：以“立體平面立體”為主要線索，強調與學生生活的聯系；適當地拓寬活動領域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調學生的直觀體驗（幾何課與實際活動課有天然的聯系）學習的方法（即“操作”+“推理”）；注重發展的空間觀念，發展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經驗基礎之上的幾何推理的學習。

初中階段屬于從直觀幾何、實驗幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實驗幾何，但包含一點點說理，而九年級已經是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。

在義務教育數學課程標準下，“圖形與幾何”主要內容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質、分類和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。

在“圖形與幾何”的核心課程教學在于：幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。

如何理解初中幾何的核心目標發展幾何直觀與推理能力

在“圖形與幾何”的教學中，應幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實出發，按照規定的法則證明結論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性?；诖?，《數學課程標準》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內容。

（三）研究問題的方法不同與概念和符號相對應，數學的推理依賴的是公理和假設，是一個從一般到特殊的方法，而統計學的推斷依賴的是數據和數據產生的背景，強調根據背景尋找合適的推斷方法，是一個從特殊到一般的方法。

（四）研究問題的判斷原則不同數學在本質上是確定性的，它對結果的判斷標準是對與錯，從這個意義上說，數學是一門科學，而統計學是通過數據來推斷數據產生的背景，即便是同樣的數據，也允許人們根據自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結果，統計學對結果的判斷標準是好與壞，從這個意義上說，統計學不僅是一門科學，也是一門藝術。

數理統計方法的基本步驟建立數學模型，收集整理數據，進行統計推斷、預測和決策。當然，這些環節不能截然分開，也不一定按上述次序，有時是互相交錯的。

（1）模型的選擇和建立。模型是指關于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規定一定的類型。建立模型要依據概率的知識、所研究問題的專業知識、以往的經驗以及從總體中抽取的樣本。

（2）數據的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實驗3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個個體都加以觀測，測定所需要的指標。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關的指標值。這方面的研究內容構成數理統計的一個分支學科。叫抽樣調查。

（3）安排特定實驗以收集數據，這些特定的實驗要有代表性，并使所得數據便于進行分析。

（4）數據整理。目的是把包含在數據中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當的圖表，如散點圖，以反映隱含在數據中的粗略的規律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數字特征，以刻畫樣本某些方面的性質，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統計量。

（5）統計推斷。指根據總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關總體分布的某種論斷。數據的收集和整理是進行統計推斷的必要準備，統計推斷是數理統計學的主要任務。

（6）統計預測。統計預測的對象，是隨機變量在未來某個時刻所取的值，或設想在某種條件下對該變量進行觀測時將取的值。

（7）統計決策。依據所做的統計推斷或預測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統計與概率的課程內容主要內容包括：

描述統計的進一步擴展----描述統計的基本目標在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數據。

滲透數理統計思想----數理統計與描述統計的根本區別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個核心的內容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數據的一個關鍵問題。學習概率的初步內容-----包括運用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計算等方法得到一些事件發生的概率；通過實驗，獲得事件發生的頻率；知道大量重復實驗時頻率可作為事件發生概率的估計值；通過大量豐富的實例，進一步豐富對概率的認識，并能解決一些實際的問題。

普查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。抽樣調查：從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查。樣本：從總體中抽取部分個體叫做總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的數量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間

在一定條件實現后，可能產生也可能不產生的現象，人們稱之為隨機現象。具備以下三個特點的試驗稱為隨機試驗：

信息。眾數只與其在數據中重復的次數有關，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數據信息，而且當各個數據的重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義。數據的離散程度

極差是指一組數據中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數據的變化范圍。方差是指一組數據中的平均數與每一個數據之差的平方和的平均數。

樣本數據的方差和標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動就越大。加權平均數的概念

加權平均數是不同比重數據的平均數，加權平均數就是把原始數據按照合理的比例來計算，即一組數據的每個數乘以它的權重后所得積的總和。平均數稱之為算術平均數，是加權平均數的一種特殊情況，加權平均數包含算術平均數，

(1)可在相同條件下重復進行；

〔2)每次試驗可出現不同的結果，最終出現哪種結果，試驗之前不能確定；

(3)事先知道試驗可能出現的全部結果。隨機事件隨機試驗的每一個可能的結果稱為一個隨機事件

樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應的一切隨機事件。數據的收集

數據收集方法有兩種：調查和實驗。在現實生活中原來就有的數據，人們通過調查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調查；抽樣調查，即為一特定目的而對部分考察對象作調查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統抽樣法。

數據的隨機性主要有兩層涵義：

一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能會是不同的；

另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發現規律。數據的整理和分析

數據分析觀念主要體現在三個方面：

第一，了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析作出判斷，體會數據中是蘊含著信息的；

第二，了解對于同樣的數據可以用多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；

第三，通過數據分析體驗隨機性。

理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）和離散程度（極差、方差、標準差）來估計總體的集中程度和離散程度。頻數和頻率

我們稱每個對象出現的次數為頻數，也稱次數。頻數也稱“次數”，對總數據按某種標準進行分組，統計出各個組內含個體的個數。而頻率則每個小組的頻數與數據總數的比值。數據的集中趨勢在統計學中是指一組數據向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數據中心點的位置所在。反映數據集中趨勢的度量包括平均數、中位數、眾數等。平均數一組數據的平均數就是用這組數據的總和除以這組數據的總個數得到的值。中位數，就是將這組數據從小到達排列后，位于正中間的數（或中間兩個數的平均數）。眾數，是指一組數據的眾數就是這組數據中出現頻數最多的數。平均數、中位數和眾數的聯系與區別

聯系：從不同角度描述了一組數據的集中趨勢。區別：計算平均數時，所有數據都參加運算，它能充分利用數據所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應用最為廣泛。中位數的優點是計算簡單，只與其在數據中的位置有關。但不能充分利用所有的數據當加權平均數中的權相等時，就是算術平均數。

統計表不僅反映某一類事物的具體數據，而且還能說明有關數據之間的關系。統計圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數據信息，直觀地反映其規模、水平、構成、相互關系、發展變化趨勢和分布狀況，即是根據統計數據所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數據所隱含信息的統計圖示法分為單式條形圖、復式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

直方圖有兩種，頻數直方圖和頻率直方圖。頻數直方圖與頻率直方圖既有聯系，又有區別。

扇形圖用圓和扇形分別表示關于總體和各個組成部分數據的統計圖叫做扇形統計圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。

扇形統計圖具有四個特點：

一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關系，

二是圓代表總體，各個扇形分別表示總體中不同的部分；

三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，

四是各個扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統計圖中，不能簡單地根據百分比的大小來比較部分量的大小。折線統計圖

用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，折線統計圖不但可以表示出數量的多少，還能夠清楚地表示出數量的增減變化情況，并且可以進行簡單的預測。折線統計圖可分為單式折線圖或復式折線圖。統計是對隨機現象統計規律歸納的研究，而概率是對隨機現象統計規律演繹的研究，在解決實際問題時，二者是相輔相成、互相關聯的

隨機事件的概率，實質上是指在客觀世界中，這個事件發生可能性大小的一個數量刻畫。

概率的定義

頻率是指事件發生的次數在全部試驗次數中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發生的可能性大小。即一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率總是趨近某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率

（1）隨機性和規律性。

（2）概率和機會。從某種意義說來，概率描述了某件事

情發生的機會

?述職報告之家業界良心專題:

初中數學教研活動總結?|?初中數學述職報告?|?初中數學知識點總結?|?黨員轉正思想匯報四篇2000?|?初中數學放縮思想總結?|?初中數學放縮思想總結

（3）有些概率是無法精確推斷的。

（4）有些概率是可以估計的。隨機結果也具有規律，而且有可能通過試驗等方法來推測其規律。我們就是要通過觀測數據，在隨機性中尋找用概率和數學模型描述的規律性

小概率原理是統計檢驗（統計中的反證法）的基礎和依據。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發生?！稊祵W課程標準》認為，“統計與概率”應當是初中課程內容的重要組成部分。不僅如此，《數學課程標準》將“統計與概率”內容從第一學段連續編排到初中，并且規定，在初中，學生將從事數據的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進一步學習描述數據的方法，進一步體會概率的意義，能計算簡單事件發生的概率。《大綱》沒有涉及“概率”內容，僅僅在初中階段引入“統計初步”，并且將“統計初步”放入“代數的第（十三）部分”在《大綱》中，“統計初步”的定位是：使學生了解統計的展這一活動，有以下幾個步驟：

第一，學生觀察一件物體或一種現象，或者操作某些學具。

第二，學生在研究所觀察的物體或現象的過程中進行思考，與同伴進行討論和交流，以彌補他們在單純的觀察和操作活動中的不足。

第三，老師按一定的順序給學生們推薦活動，學生可從中作出選擇并實施這些活動，學生在選擇中有較強的自主性。

第四，這一活動可以以課內外相結合的形式進行，學生每周至少花兩個小時進行同一個主題的活動，并應保證這些活動在整個學習進程中的持續性和穩定性。

第五，每個學生都記錄活動過程。通過這一活動，學生逐漸學會操作，同時加強和鞏固口頭和書面表達能力，發展解決問題的能力，增進對數學的理解力。如何理解數學研究性學習

思想，掌握一些常用的數據處理方法，能夠用統計的初步知識解決一些簡單的實際問題。簡單的平均數和加權平均數

所謂加權平均數，是指各個數據的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權重”表示，即加上各個數據在全體數據中占有的比例（頻率）再作和。數學期望的定義事前預期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實踐與綜合

設置“實踐與綜合”領域目的在于體現其橋梁作用（即，數學不同領域之間的橋梁作用以及數學與外部之間橋梁作用）和綜合價值，綜合運用數學知識、技能、思想、方法等解決現實問題，幫助學生積累直接的數學活動經驗，發展學生的綜合能力。關于“實踐與綜合”的教育價值和課程目標

教育價值實踐與綜合領域的存在，溝通了現實世界中的數學與課堂上的數學之間的聯系。另一方面，綜合應用數學解決問題也必將給學生的學習方式帶來改變。使學生發展了意志力、自信心和不斷質疑的態度，發展了運用數學進行思考和交流的能力。

課程目標《全日制義務教育數學課程標準》對這個領域的課程設計提出了的總的要求：幫助學生綜合運用已有的知識和經驗，經過自主探索和合作交流，解決與生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性的問題，以發展他們解決問題的能力，加深對“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”內容的理解，體會各部分內容之間的聯系?！皩嵺`與綜合”在不同階段不同的呈現形式第一學段以“實踐活動”為主題，第二學段以“綜合應用”為主題，第三學段(即初中階段)以“課題學習”為主題。

在初中數學中，課題學習的主要形式有三種基本方式：

數學小調查。數學小調查是指學生在教師指導下，從學習生活和社會生活中選擇和確定調查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學習活動。數學調查可以包括三個階段，第一，進入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點。

小課題研究?；顒踊具^程如下：各小組確定活動目標；根據目標確定本組活動內容；在老師指導下實際調查。合作交流。

動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學生以更科學的方法學習知識，尤其強調對學生學習方法、思維方法、學習態度的培養。基本過程是：提出問題動手做實驗觀察記錄解釋討論得出結論表達陳述。具體地說，開

數學研究性學習主要針對我國中學教育中出現的若干弊端，為實施以創新精神和實踐能力為重點的素質教育而提出來的，其根本目的是讓學生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗和正確認識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質和能力。因此，研究性學習的重點在“學習”，研究是手段、途徑，而不是目的。數學研究性學習的內涵

以培養學生的數學創新意識和實踐能力為目的，它主要通過與數學學科內容相關的課題，在教師的指導下，學生為主體地參與、體驗問題提出和解決的全過程。使學生不但發展了思維能力，而且逐漸領悟到數學科學研究的基本過程和方法，提高學生的科數學研究性學習的目的

1.讓學生經歷科學研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗。

2.了解科學研究的方法，提高發現問題和解決問題的能力。

3.學會與人溝通和合作，學會分享。合作的意識和能力，是現代人所應具備的基本素質，而研究性學習提供了一個有利于人際溝通與合作的良好空間。

4.增強探究和創新意識，培養科學態度、科學精神和科學道德。在研究性學習的過程中，學生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學生必須學會從實際出發，通過認真踏實地探究，事實求是地得出結論，并且養成尊重他人的想法和成果的正確態度，同時培養不斷追求的進取精神、嚴謹的科學態度、克服困難的意志品質等。

5.培養學生對社會的責任心和使命感形成積極的人生態度。

6.促進學生學習，掌握和運用一種現代學習方式。

7.激活各科學習中的知識儲備，嘗試相關知識的綜合運用。8.促進教師教學觀念和教學行為的變化，提升教師的綜合素質，培養學生創新精神和實踐能力，推進素質教育的全面實施。

初中數學研究性學習主題分為建模探究型、圖表探究型、調查探究型、開放探究型四種類型。

（1）建模探究型：以學生動手操作、合作探討、設計制作模型為主，教師給予指導、總結、評價。

（2）圖表探究型：以學生觀察、分析數學圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結合相關知識分析、探究、解決問題。例如，數學圖表的制作：“制作人口圖”。

（3）開放探究型：以學生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數學問題：猜想、證明、拓廣。

（4）調查探究型：以學生調查實踐、自主分析、探究實踐的方式和方法為主，教師適時引導、提示、總結。數學研究性學習的特點

1.探究性。探究是人類認識世界的一種基本方式，處于基礎教育階段的初中生對外部

世界仍充滿強烈的新奇感和探究欲，數學研究性學習正好適應學習者個體發展的需要和認識規律。

2.全員參與性。研究性學習主張全體學生的積極參與，它有別于培養天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學習的組織形式是獨立學習與合作學習的結合，其中合作學習占有重要的地位。

3.開放性。數學研究性學習是一種開放性、參與性的教學形式，為了研究有關生活中的數學問題或從數學角度對其它學科中出現的問題進行研究。

4.過程性。要求學生把自己所得出的結論運用到現實生活中去，解決現實生活中涉及到的數學問題，強調學生參與的過程。

5.應用性。學以致用是研究性學習的又一基本特征。研究性學習重在知識技能的應用，而不在于掌握知識的量。

6.體驗性。研究性學習不僅重視學習過程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學習的體驗。數學研究性學習的實施保持和進一步提高學習數學的積極性。

（3）在實施過程中，要采取有效的手段對學習活動進行監控；指導學生寫好研究數學日記，及時記載研究情況，真實記錄個體體驗，為以后進行和評價提供依據。

（4）要爭取家長和社會有關方面的關心、理解和參與，與學生一起開發對實施研究性學習有價值的校內外教育資源，為學生開展研究性學習提供良好條件。

（5）能夠根據學校與班級實施研究性學習的不同目標定位和主客觀條件，在不同時段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點。

數學模型一般是指由數字、字母或其它數學符號組成的，描述現實對象(原型)數量規律和空間特征的數學結構。數學模型可以敘述為：對于現實世界的一個特定對象，為了實施要求：

①全員參與，而非只關注少數數學尖子學生競爭，給每個學生有鍛煉與參與的機會；

②任務驅動。要向學生提出有明確具體要求的任務，發揮它對學生學習過程的引導作用；

③重在學習過程而非研究的結果；

④重在知識技能的應用而非掌握知識的數量；

⑤重在親身參與探索性實踐活動，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經驗；

⑥形式上靈活多樣，強調課內外結合。數學研究性學習模式有三種：

（1）理論實踐模式。是指師生在共同學習研究性學習理論的基礎上，學生運用數學理論來研究、解決數學問題，體驗研究性學習課程理論的價值，提高綜合能力的一種教學模式。

（2）數學問題探討模式。師生圍繞數學問題的分析與探討展開的教學活動，構成了問題探討教學模式。其基本理念在于：以激勵、強化學生在教學過程中的主體參與意識為著眼點，以幫助學生學會學習，學會發現和分析問題，培養學生創造性解決問題的能力為宗旨，創設一種開放而又活潑的學習氛圍。其教學策略是：將問題或案例呈現給學生，引導學生共同探討，構建師生平等、互動的學習環境。

一般來說，教師要選擇典型的數學問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學生，而要創造性地加以取舍，主動設疑，引導學生學會思考，提高學生的學習數學能力。

（3）數學課題研究模式。數學課題研究模式是指教師提供課題或由學生根據興趣設計研究課題，并在教師的指導下自主探索、實施研究計劃、完成課題目標、提高社會實踐能力的一種教學模式。

組織形式有三種類型：小組合作研究、個人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經常被采用的一種組織形式。數學研究性學習實施的一般程序

一般可以分為三個階段：

（1）進入問題情境階段（準備階段）。主要任務是背景知識的準備；指導學生確定數學研究課題；組織課程小組、制定研究方案。

（2）實踐體驗階段（實施階段）。本階段學生要進入具體的解決問題過程。

（3）表達交流階段（結題階段）。學生將自己或小組經過實踐、體驗所取得的收獲進行歸納整理、總結提煉，形成書面或口頭報告材料，得出結論，并進行成果交流和總結反思。數學研究性學習實施中的教師指導

（1）在初中不同的學段和年級，教師的指導工作內容和方法應該有所不同。

（2）在數學研究性學習實施過程中，教師要及時了解學生開展活動的情況，有針對性地進行指導、點撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進學生自我教育，幫助他們

一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設后，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學建模教學的目

使學生體會數學與自然及人類社會的密切聯系，體會數學的應用價值，培養數學的應用意識，增進對數學的理解和應用數學的信心；使學生學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中的問題，進而形成勇于探索、勇于創新的科學精神；使學生學會以數學建模為手段，激發學習數學的積極性，團結合作，建立良好的人際關系、相互合作的工作能力；以數學建模方法為載體，使學生獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學事實以及基本的思想方法和必要的應用技能。數學建模的教學意義

1.培養學生合作學習的能力合作能力是信息社會中每個人必須具備的基本素質。

2.培養學生處理信息的能力數學建?；顒觿t為學生學習如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個有效的途徑。

3.有利于學生形成正確的數學觀數學建?；顒拥拈_展使學生形成正確的數學觀成為可能。

4.有利于學生體驗數學與生活、數學與其它學科的聯系

5.激發學生的數學學習興趣

6.發展學生的創新意識數學建模的具體實施1.選題

鼓勵學生自主提出問題，可以從以下幾個方面人手：

①讓學生了解選題的重要性和基本要求，

②指導學生結合自己的生活經驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學生的選題并加以點評，或者請本班同學介紹自己的選題計劃，教師和學生一起分析其可行性，

③教師創設一個問題環境，引導學生自主提出問題、確定課題。這時教師的指導應該是有啟發性的，不要代替學生確定課題，而是啟發學生自己去延展、開拓問題鏈，讓學生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。

2.實施

在課題學習的實施中，我們強調開放學生的思維，強化過程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。

3.指導

在課題學習中，教師如何指導學生，這是一個令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學習過程中，問題形式與內容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結果呈現層次的豐富性，無疑是對參與者創造力的一種激發、挑戰和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學生的優勢是自然的、常常出現的。

4.評價

評價過程具體涉及以下幾個方面：

①調查、求解的過程和結果要合理、清楚、簡捷；

②要有自己獨到的思考和發現；

③能夠恰當地使用工具(如網絡和計算工具)；

④采用合理、簡捷的算法；

⑤提出有價值的求解設計和有見地的新問題；

⑥發揮每個組員的特長，合作學習得有效果。5.建立和擴張資源

對教育資源的認識應該走出靜態的誤區，要看到身邊許多動態的教育教學資源。此外，通過查找相關的刊物和網站也可以發現大批的可用資源。我們還應有意識地建立自己個性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學校學生的優秀成果等。生和發展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數學符號來表示數學概念，使概念形式化。邏輯化在一個特定的數學體系中，孤立的數學概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關系；這些關系稱之為數學概念的邏輯關系。這種邏輯關系使得數學概念系統化、公理化。簡明化數學概念具有高度的抽象性，借助數學符號語言，使得一定事物的本質簡明的形式表現出來，這種簡明化使人們在較短時間內領會。概念的外延與內涵

概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物。

一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延是指適合這個概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個概念的延用范圍。一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵。概念的內涵是說一個概念所反映的事物培養學生的數學應用意識、數學應用能力

實際教學中要強調學生的自主探索、合作交流和操作實踐等學習方式。

（1）充分發揮學生的主體性。在學習過程中，教師可以向學生推薦活動，讓學生在選擇中有較強的自主性；同時，讓學生獨立思考和合作交流，在此基礎上教師進行有針對性的指導。

（2）強凋學生學習方法、思維方法、學習態度的養成，關注學生的學習過程。課題學習活動強調學生主動學習，不宜強調對知識的學習，而且更重要的是強調學生對學習方法、思維方法、學習態度的養成。

（3）創設恰當的問題情景，鼓勵學生思考方法的多樣化。在課題學習活動過程中，教師應當鼓勵與尊重學生的獨立思考，引導學生進行討論與交流，培養學生良好的思考習慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養學生的創新意識與創新思維是十分必要的。

（4）對課題學習的評價應該以質的評價為主。一般說來，對學生實踐與綜合應用活動的評價要強調過程性評價。重點在于促進學生創新精神的培養和實踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學生貼上優秀、良好、不及格的標簽。數學研究性學習的評價對建立學生發展性評價有哪些有益的啟示

（1）研究性學習評價更重視過程。研究性學習評價學生研究成果的價值取向重點是學生的參與研究過程。

（2）研究性學習評價更重視理解中的應用。強調的是學生把學到的基礎知識、掌握的基本技能，應用到實際問題的提出和解決中去既促進學生對知識價值的反思，又加深對知識內涵理解和掌握，形成知識的網絡和結構。3）研究性學習評價強調學生在探究過程中的體驗。

（4）研究性學習評價更重視全員參與。研究性學習的價值取向強調每個學生都有充分學習的潛能，為他們進行不同層次的研究性學習提供了可能性，也為個別化的評價方式創造了條件。第五章初中數學的邏輯基礎

客觀事物都有各自的許多性質，或者稱為屬性。經過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質屬性。反映事物本質屬性的思維形式叫做概念。數學研究的對象是現實世界的空間形式和數量關系。反映數學對象的本質屬性的思維形式叫做數學概念。數學概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。

抽象化數學概念反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數量關系反映得來，而大多數概念排除對象具體的物質內容，抽象出內在的、本質的屬性，甚至在已有數學概念的基礎上，經過多級的抽象過程才產的本質屬性。

概念的內涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關系。概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物。一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵。一個概念的內涵和外延分別從質和量兩個方面刻劃了這個概念，每個概念都是其內涵與外延的統一體．概念的內涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內涵。概念的外延和內涵是主觀對客觀的認識，由于人們對客觀事物的認識是發展變化的，概念的外延和內涵必然相應地發生變化，但是在發展變化的過程中有其相對的穩定性．在數學科學體系的確定的階段，每一個數學概念的外延和內涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數學概念的特點

1、初中數學概念并非都是通過定義給出的

2.初中數學概念的層次性數學概念本身具有層次性。

3.數學概念是理想概念

4.數學概念是“過程”與“對象”的統一體數學概念之間的關系

1.同一關系兩個外延完全相同的概念之間的關系，叫做同一關系。同一關系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關系的兩個概念可以互相代替。

2.交叉關系兩個外延部分相同的概念之間的關系，叫做交叉關系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。

3.從屬關系兩個外延具有包含關系的概念之間的關系，叫做從屬關系。其中外延范圍大的概念A叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做矛盾關系。

5.對立關系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做對立關系。

把一個屬概念分成若干個種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數學中常用劃分把概念系統化。正確的劃分應符合下列條件：

第一，所分成的種概念之間應是全異關系，即任兩個種概念的外延的交集應是空集；第二，劃分應是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應按照同一個標準進行。在一次劃分中用不同的根據就造成了混亂；第四，劃分不應越級。應把屬概念分為最鄰近的種概念

數學概念的定義與要求

定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過程中，經過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質屬性。常用的定義方法:

1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進行定義的方法。2.發生式定義法不直接揭示概念的基本內涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發生式定義法。

3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時，P假；當P假時，P真。

2.選言判斷。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞“或者”構成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。

3.聯言判斷。聯言判斷是用連接詞“且”構成的判斷，表明幾個事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設和題斷，條件和結論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義

關于數學對象及其屬性的判斷叫做數學判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。

4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。

5．關系定義法這是以事物間的關系作為種差的定義，它指出這種關系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。

此外，中學數學中還有描述性定義法(如現行中學數學中關于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導數、n重積分的定義)，借助另一對象來進行定義(如借助指數概念定義對數概念)等等。定義數學概念的基本要求

1.定義應當相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環。即在同一個科學系統中，不能以A概念來定義B概念，而同時又以B概念來定義A概念。

3.定義應清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質屬性來說應是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。

定義要揭示概念所反映對象的本質屬性，而否定形式一般不能做到這一點。數學概念的形成

數學概念形成是從大量的實際例子出發，經過比較、分類，從中找出一類事物的本質屬性，然后通過具體的例子對所發現的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。

數學概念形成的過程有以下幾個階段：

1.觀察實例。

2.分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。

3.抽象本質屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質屬性的假設。

4.確認本質屬性。通過比較正例和反例檢驗假設。確認本質屬性。

5.概括定義。在驗證假設的基礎上，從具體實例中抽象出本質屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。

6.符號表示。

7.具體運用。使新概念與已有認知結構中的相關概念建立起牢固的實質性聯系。把所學的概念納入到相應的概念體系中。

判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數學中要進行證明。如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質判斷和關系判斷。復合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構成的判斷。

1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當P如何理解命題的分類

所謂性質命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質的命題。性質命題由主項、謂項、量項和聯項四部分組成。關系命題關系命題是斷定事物與事物之間關系的命題，關系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復合命題命題真值的概念。

對于命題A、B，如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。

復合命題的分類

復合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

否定式。給定一個命題A，用連接詞“非”組成一個復合命題“非A”，

析取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“或”組成一個復合命題“A或B”，合取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“且”組成一個復合命題“A且B”蘊含式。給定兩個命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個復合命題“若A則B”，記作AB

等值式。給定兩個命題A與B，用連接詞“等值”組成一個復合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理

不加證明而被承認其真實性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數學理論的主要基礎。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現象中抽象出來的，符合客觀規律。

任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。

經過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質的區別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規律

1.同一律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確

定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點具體要求：一是思維的對象應保持同一。二是表示同一事物的概念應保持同一。

2.矛盾律：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

3.排中律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。

排中律和矛盾律既有聯系，又有區別。其聯系在于：它們都是關于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

在即將結束的這個學期里，我完成了大學物理實驗(上)這門課程的學習。物理實驗是物理學習的基礎，雖然在很多物理實驗中我們只是復現課堂上所學理論知識的原理與結果，但這一過程與物理家進行研究分子和物質變化的科學研究中的物理實驗是一致的。在物理實驗中，影響物理實驗現象的因素很多，產生的物理實驗現象也錯綜復雜。老師們通過精心設計實驗方案，嚴格控制實驗條件等多種途徑，以最佳的實驗方式呈現物理問題，使我們通過努力能夠順利地解決物理實驗呈現的問題，考驗了我們的實際動手能力和分析解決問題的綜合能力，加深了我們對有關物理知識的理解。通過一學期的課程，我學到了很多東西。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

通過學習，利用所學的知識，發現教材中沒有出現但又有用的規律，使問題簡化，這是學習物理的標準之一！

例如：

記憶：

A、規則固體水平放，ρgh算壓強

B、液體流動容器裝，壓力大小看形狀上重下壓形象化，上下相等叫規則

C、物體漂浮液面上，所受浮力等重力V排除以物體積，等于ρ物除ρ液

D、物體全部浸液體，V排等于物體積重力浮力比值等，物液密度的比值

E、純冰漂在液面上，化后液面看液密大于水密要上升，小于等于均不變

F、冰含雜質船拋物，關鍵看物的密度小等液密液不變，大于肯定要下降

G、規則容器放物體，增壓浮力除以底。

◆ 初中數學放縮思想總結 ◆

自八二年大學畢業以來，堅持初中數學教學工作，二00三年評為市骨干教師，我深知自己肩上的擔子很重，師德要模范，班級管理要優秀，教育教學成績要突出。隨著教育改革的不斷深入，我時刻感到自身的不足，《初中數學教研》、《教學名師課堂實錄》、《班主任感悟》等理論書籍成為我業務時間的朋友，不斷地閱讀相應理論知識，學習先進經驗和新的教育理念，不斷地充實自己，更好地進行教學實踐。近年來，學校、市縣教研室、教委為我們提供許多學習機會，聆聽特級教師的教育教學理念與教誨，使自己大開了眼界。他們深厚的文化底蘊，嚴謹的治學態度，平易近人的教學風格是我永遠努力的方向，學科帶頭人的示范課，教學論壇等為我的教學注入新的“血液”，取人之長，補己之短，教育教學工作取得了突飛猛進的發展與提高。

二、積極參加各種教研工作與活動。

偉大的教育學家說過：“如果你讓教師的勞動能夠給教師帶來樂趣，便天天上課不改變成一種單調乏味的義務，那么就應該引導教師走上科研的道路上來。這足以說明教研是教學的先導，為此我積極參加到各種教研教學活動中去，與教師們一道共同探討研究教法，參加集體備課，并主動上示范課與公開課。

三、德育工作。

教書育人是我們教師的根本要求，數學教學不僅要傳授基本知識，更要挖掘書本知識中的道德底蘊，與班主任一道治理班級，分享學生成長的喜悅，感悟學生的滿足與失落，從不歧視差生，從點點滴滴幫助后進生改變不良習慣，從而深得學生好評。

四、師徒工作。

身為一位中年教師，深知“一棵樹不成林”的道理?！敖處煿ぷ饕粩嘌乩m”這個基本道理，我一個人的努力永遠抵不上青年教師的努力，我不但嚴格要求自己，大膽實踐，還積極引導和幫助年青教師共同前進，與青年教師胡其照教師結對，幫助他共同前進，加快年青教師的成材步伐。

以上是我這幾年來的教育教學工作，教研工作，師徒結對工作中的一點體會和總結，如有不妥之處，請各位領導批評指出。

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