兒童數學超前培訓總結（合集十五篇）

兒童數學超前培訓總結（合集十五篇）。

? 兒童數學超前培訓總結

隨著社會的發展和科技的進步，數學已經成為了一個重要的學科。兒童在小學階段就開始接觸數學，并逐漸提升其數學能力。傳統的數學教育方式并不能完全滿足每個孩子的需求，因此我們需要尋找一種更為有效的方式來培養兒童的數學能力。兒童數學超前培訓就是一種很好的方法。

兒童數學超前培訓是一種旨在讓孩子們在數學領域中脫穎而出的教育方式。通過提供更深入、豐富和有挑戰性的數學內容，培訓班能夠激發孩子們對數學的興趣和潛能，同時也提高他們的思維能力和解決問題的能力。

兒童數學超前培訓注重培養孩子們的數學思維能力。傳統的數學教育往往注重記憶和應用，而超前培訓更注重培養孩子們的思維方式。他們不僅僅是簡單地學習數學公式和解題方法，而是通過思維導圖、推理和邏輯等方式來學習數學。這種培訓方式能夠讓孩子們學會將數學知識應用到實際生活中，并培養他們的創造力和思考能力。

兒童數學超前培訓通過提供豐富的數學內容來激發孩子們的興趣。傳統的數學教育往往以死記硬背的方式教授，使得孩子們對數學產生了抵觸情緒。而超前培訓則以趣味性的方式呈現數學知識，例如通過游戲、故事和實際應用等形式來教授數學，使得孩子們能夠更加主動、積極地參與學習。

兒童數學超前培訓還注重培養孩子們的解決問題的能力。傳統的數學教育往往只注重答案的正確與否，而超前培訓則強調學生的思考過程和解決問題的方法。他們鼓勵孩子們思考全面、多角度地解決問題，并通過提供多種答題技巧和解題方法來培養孩子們的解決問題的能力。

兒童數學超前培訓是一種全新的數學教育方式，它能夠幫助孩子們提高數學能力，培養他們的思維能力和解決問題的能力。通過深入、豐富和有挑戰性的數學內容，激發孩子們對數學的興趣，并以趣味性的方式提高他們的學習積極性。兒童數學超前培訓的實行是對傳統數學教育的一種補充和完善，將為兒童的數學發展開辟新的道路。我們希望通過這種培訓方式，能夠讓更多的孩子在數學領域能夠超前一步，為他們未來的學習和職業生涯打下堅實的數學基礎。

? 兒童數學超前培訓總結

作業機敘事作文

啊哈！終于盼到了星期五下午?？爝^星期了，我興奮極了。

第三節快下課時，語文數學老師都來布置作業了。請看吧:語文把生字寫幾遍，數學把練習五的3、4題做一做。悄悄告訴你吧，雖然我學習不錯，但是本帥哥最不愛寫作業，一寫作業就頭痛。放學了，該寫作業了，怎么辦呢？對了，發明個作業機吧！

趁爸爸媽媽沒回來，趕緊干起來。我把俺家的不用的飲水機抱出來，首先用鉗(qián)子使勁把出水口的筏(fá)子扭掉，然后用水果刀把出水口的地方敲打出一個長方形的洞來。接著用作業本試一試，不行，塞不進去作業本，洞太小了。于是，用刀子把洞口再刻寬了一些。再把本子放進去試一試，這下可好，作業本總算塞進去了。最后我把電腦鍵(jiàn)盤的電線和飲水機的電線綁起來。哈哈，作業機大功告成了！

該讓作業機上班啰！我先把語文作業放進去，在鍵盤上輸入“把生字寫三遍”。等了一會兒，我把本子取出來，作業本上白白凈凈的。或許語文作業太難了，換成數學吧。我把數學作業放進作業機里，在鍵盤上輸入“9×6=“，把作業拿出來一看，沒做！換成加法吧?！?+4=“，等了半天，把本子拿出來，還是沒做。我拍著我的`作業機生氣地說：”沒用的作業機，氣死寶寶了！“

正在這時，爸爸媽媽回來了，看到我不高興的樣子問我為什么。我把發明作業機的事情告訴給爸爸媽媽，聽了我的講述，他們笑得直不起腰：“乖乖，這世界哪有作業機?。　?/p>

看來，學習是不能懶省事的，作業還得一筆一筆地寫。

? 兒童數學超前培訓總結

通過參加為期四天緊鑼密鼓的省高中數學新課程培訓班的學習、聆聽了六位專家的講座，以及參加培訓教師在課余飯后的交流，使我受益匪淺。一周來，我們放下手中繁重的高三總復習工作，一起相聚武夷，感悟課改。一、感悟課改1、轉變觀念

培訓使我們充分認識到新一輪的數學課程改革從理念、內容到實施，都有較大變化。要實現數學課程改革的目標，教師是關鍵。教師應首先轉變觀念，充分認識數學課程改革的理念和目標，以及自己在課程改革中的角色和作用。教師不僅是課程的實施者，而且也是學生學習的引導者、組織者和合作者。為了更好地實施新課程，教師應積極地探索和研究，提高自身的數學專業素質和教育科學素養。2、以學生的發展為本

數學教師作為數學知識的傳播者，不僅要把數學知識傳播給學生，還必須關注對學生技能、情感、態度和價值觀的培養。要把培養學生應用、建模意識作為數學課的一個重要教學目標。學生在新課程下可以根據自身的條件以及今后自己的發展方向，選擇選修課程。而新課程也為學生多向發展、多層次發展創造了條件。體現了“人人都能學數學，人人都能學到對自己有用的數學”，這一以人為本的教育理念。同時也有利于學生積極主動、勇于探索這一良好學習習慣的養成。

數學史這一門課程的設立，讓學生在掌握一定數學知識的同時，也了解一大批為數學作出杰出貢獻的科學家，從而學習他們百折不撓的鉆研、探究精神和實事求是的科學精神，有良好的德育效果。

第1頁共3頁新課程改革是歷史的必然和時代的需要。新課程改革對每位教師、每所學校來說既是挑戰又是機遇。每位教師都要有緊迫感、責任感和使命感。抓住機會，先行一步，爭取在課改的潮流中大顯身手，并立足本校教材的開發，教出自己的特色，教出學校的特色。3、學習的一些體會

通過培訓我了解了課程設計的一些基本思路，對課程性質也有一定的理解。通過學習感覺到在今后的教學中應把握好以下八個方面：

（1）以學生發展為本，樹立正確的學生觀、教學觀；

（2）關注學生的個體差異，正確指導學生合理、科學地選擇課程，制定課程學習計劃；（3）正確處理繼承與創新的關系，在強調發展學生能力的同時，以時俱進地加強雙基教學，

促進扎實雙基與能力培養的協調發展；

（4）現代數學更具整體性，注重知識之間的聯系，提高學生對數學整體的認識，形成網絡；（5）數學已叢幕后走向臺前，因此教學中應注重數學知識與實際的聯系，發展學生的應用意

識和能力；

（6）關注數學的文化價值，促進學生人生觀、科學觀的形成；（7）改善教與學的方式，促進學生主動的、富有個性的學習（8）恰當運用現代信息技術，提高教學效率。二、擔憂與建議

面臨今后的課改，我們普遍有兩方面的擔憂。一是學校領導對課程改革的觀念與決心。是堅持不懈、持之以恒；還是走走形式、應付了事。這是新課程改革成敗的關鍵，也是教育本身特點所決定的。因為教育是一個綜合系統工程，不是一個教師，幾位教師所能完成的，因而要有一個敢于負責、銳意進取的強有力的領導，才能保證課程改革的順利進行。二是高考與課改。只有我們才能真正體會高考對高中教師的重要性，它關乎我們的聲譽、待遇甚至是飯碗。課改不但需要緊密跟進型的高考，更呼喚陪伴型的高考。因為高考是把雙刃劍，它可以指向應試教育，同樣也可以引導中學教學走向新課程、走向素質教育。因此建議在實施新課程的同時，盡快出臺新課程考試說明等高考相關文本。建議20xx、20xx、20xx年高考逐步滲透新課程高考的力度，使新老課程高考有一個平穩的過渡，同時也為新課程改革起良好的導向作用，創造一個

? 兒童數學超前培訓總結

兒童數學超前培訓是近年來備受關注的教育領域熱點話題。在這篇總結中，將詳細討論兒童數學超前培訓的定義、目的、方法和效果，并探討其在兒童發展中的重要性和潛在問題。

首先，我們來定義兒童數學超前培訓。兒童數學超前培訓是一種旨在提前介紹和教授數學知識和概念給年幼的孩子的教育方法。這種培訓往往涉及較為復雜和高級的數學內容，包括幾何、代數、統計等領域。

兒童數學超前培訓的目的在于激發兒童對數學的興趣，并幫助他們建立并發展相關的認知能力和解決問題的技巧。通過提前接觸和學習數學，兒童可以在數學思維和邏輯推理方面取得超前的進展，為將來更高層次的學習奠定堅實基礎。

在具體培訓方法方面，兒童數學超前培訓通常采用全英文教學、小班授課和游戲化學習等方式。全英文教學的目的是幫助兒童提前培養英語聽說讀寫的能力，以更好地應對未來的學習需求。小班授課可以讓教師更好地關注每個孩子的學習情況，提供個性化的指導和輔導。游戲化學習則通過將數學概念融入游戲中，增加兒童的學習興趣和參與度。

關于兒童數學超前培訓的效果，已有一些研究表明，該培訓方法在某些方面確實能對兒童的學習和發展產生積極影響。首先，兒童數學超前培訓有助于提高孩子們的數學成績和考試表現。早期培養的數學能力對于后續學習的順利進行非常重要。其次，該培訓方法也可以提高兒童的邏輯推理和問題解決能力，培養他們批判性思維和創造性思維。這些能力在兒童整個學習和人生中都有著重要作用。

然而，兒童數學超前培訓也存在一些潛在問題和風險。首先，過早地引入復雜的數學概念可能會造成兒童在理解和應用上的困惑，甚至產生厭惡和抵觸情緒。教師需要具備良好的教學技巧和個案輔導能力，以更好地引導和幫助孩子們理解數學內容。其次，兒童數學超前培訓過程中，家長需要提供相應的支持和陪伴，以確保孩子在學習中保持積極態度和良好心理狀態。同時，家長也需要關注兒童的發展平衡，避免過度焦慮和壓力。

綜上所述，兒童數學超前培訓作為一種旨在提前培養兒童數學能力的教育方法，具有一定的可行性和積極效果。通過激發興趣和提供相應的學習支持，兒童可以在數學學習上取得超前的進展，并為將來更高層次的學習奠定堅實基礎。然而，為了確保培訓的有效性和可持續性，教師和家長都需要關注兒童的學習情況和心理健康，并提供相應的支持和指導。只有這樣，兒童數學超前培訓才能在兒童的全面發展中發揮最佳作用。

? 兒童數學超前培訓總結

猜猜今天啥作業敘事作文700字

上完體育課，我大汗淋漓地跑進教室。呆坐了一會兒，汗也落了，一扭頭，見坐在后面的劉明正握著筆，“沙沙”寫著什么，對了，離上課還早著呢，不如來猜猜今天的作業吧！

今天先上了一節英語課，老師習慣布置這樣的作業：英語單詞寫幾遍，漢語寫幾遍，加上例句替換幾遍。對了，我就把今天學的英語單詞寫三遍，漢語寫三遍，再默一遍，然后例句替換寫一遍。刷刷刷，我很快就寫完了。再來猜猜數學作業吧，今天學的是“長方體和正方體的表面積”，一般學了新知識就會做練習，那么今天會做《課課練》第幾題呢？看來看去，這一單元的題都能做，不管啦，把這一單元全做了，也不是什么大事。說干就干，大腦高速運轉，又沒有“攔路虎”，做起來很是輕松。也真奇怪，主動寫作業，總覺得作業很少很少。

寫好數學作業還沒上課呢，我又出去玩了一會兒。一直期待的第三節下課時間到了，只見英語老師邁著輕快的步伐，走進了教室，在黑板上寫道：“第三課單詞三英三漢默一遍，例句替換一英一漢?！薄耙?！哈哈――”我情不自禁地大笑起來。同桌一臉疑惑地看著我，說：“哎哎，別笑傻了！”再看數學作業，是把“長方體和正方體的計算公式寫一遍”，我大為失望?？赊D念一想，這一課的練習總是要做的，再說了，剛剛學習了新知識，我進行了練習，知識不就掌握的更好了嗎？還有，老師布置這一課練習的時候，我就能第一個去讓老師改。

晚上回到家，因為所有作業很早就完成了，所以我拿起了自己喜歡看的課外書，又看了一會兒動畫片，還出去和小伙伴玩了一會兒，很是得勁。媽媽下班回來簽字的.時候還表揚我，說：“今天的作業字跡工整，正確率高?！彼闹牢医裉斓慕洑v呀！

從此，我一發不可收拾，一有空就開始猜作業，不僅一個人猜，有時還和同桌、前后桌一起猜，這樣一來，猜中的幾率就更高了。語文老師知道了這件事，表揚我說：“高鋮同學猜作業，其實是一種主動學習的表現，他已經能管理好自己的時間了，希望大家都能向他學習。”可有誰知道，我放學回家之后，能有更多的時間干自己喜歡的事情，這是多么快樂的事呀！

? 兒童數學超前培訓總結

數學是一門基礎課程，在小學教學中，教師應充分了解小學生的特點，了解數學這門課程的教學特點，在此基礎上運用適當的手段，提高小學數學課堂教學效果。通過這段時間的網絡培訓學習，使我感受頗多，受益匪淺，很多教學中遇到的難題也在專家們那里得到了解決?，F將這次的培訓體會、總結如下：

首先，本次培訓讓我在以下幾個方面的內容收獲頗多：

一是小學數學教學中導入技能與提問技能；二是小學數學課堂觀察技能與組織技能；三是小學數學課堂教學語言技能與溝通技能。四是講解技能與多媒體技能。這將對知識更新，能力提高具有很大的幫助。通過學習使我認識到在數學教學中，教師要關注教學目標、關注學生參與、關注課堂效益和質量。使我認識到數學教學是數學活動的過程。數學活動的過程是學生收獲知識的過程，是發展思維的過程，也是培養學生創新能力的過程。因此，教師應努力為學生的數學活動創造條件，“數學工具”則是學生數學活動的重要媒介，它最大的價值在于可以為學生提供實踐的空間。用好“數學工具”，學生便有了“做”數學的機會，用好這些“數學工具”學生將有機會體驗數學、經歷數學。使我認識到教師提問的方向是為了把學生引向深入的思考。學生的提問是深入思考問題中發現的要不太理解的問題。

其次，培訓方式新穎，交流空間廣闊。

遠程研修教育打破了時空限制：教育不再局限在課堂，教師可以通過網絡媒體通訊技術進行自主學習，可以隨時將自己的薄弱環節強化學習，直到完全鞏固．更加便于對每個知識內容的融會貫通，使原來想做而做不到的事情成為現實．通過這個平臺，與全國教育專家進行了一次“零距離”的接觸，“面對面”聆聽他們的輔導講座、鮮活的案例和豐富的知識內涵，讓我開闊了視野。明白了新課程到底“新”在哪里。專業方面，通過論壇與同仁們的談數學、探迷惑，使我在思想、專業方面都得到很大的提高。這種平臺，使我們的距離變得更近、更方便交流。通過看視頻,與專家老師交流，在班級論壇中發帖、回貼，進行論壇研討等活動,我學到了很多新知識，并為以后的教學工作奠定了厚實的基礎，真是受益匪淺。

再次，理論水平提升，教學方法更新。

通過此次遠程教育培訓，教育觀念有所更新，教學方法有所改進，通過學習和聽專家講座等環節，我感到自己的確長了不少見識，教學思路靈活了，對自己的教學也有了新的目標和方向：首先在課堂的設計上一定要力求新穎，要能抓住學生的心，要講求實效性，不能為了形式而活動多卻沒有實質內容，整堂課熱鬧一場卻讓學生無所獲；教師的語言一定要有親和力，要充分尊重學生，讓他們有被重視的感覺，要做學生學習上的老師，生活中的朋友；在課堂上，教師只起一個引路的作用，不可以 “滿堂灌”，更不可以教師唱主角，學生作配角。另外教師的個人修養和素質也需要不斷提高，要靠不斷的汲取知識，學習先進經驗充實自己的頭腦，要有過硬的基本功。通過這么多年的教學實踐，我深深的感 到，要讓學生喜歡你，尊重你，首先你得要在他們面前露兩手，要讓他們佩服你，對你心服口服。

在這一段時間的培訓中，我認真地看了各位專家對于小學數學專業知識的解讀，尤其對他們講解的小學數學教學中各個方面的問題、今后改進的措施、辦法進行了認真學習，收獲不小。

一是重新認識了自己。

我要在今后的教學中繼續徹底改變自己。這次學習使我的思想有了更深層次的轉變。作為一名小學數學教師，必須具有淵博的知識，良好的思維品質，這些還遠遠不夠。我們要在數學學習探究過程中，不再把數學知識的傳授作為自己的主要教學任務和目的，也不再把主要精力花費在檢查學生對知識掌握的程度上，而是要成為學習集體中的成員，在問題面前教師和學生們一起尋找答案，在探究數學的道路上教師成為學生的伙伴和朋友。

二是為學生全面發展奠定基礎。

面向全體學生我們應做到：創設各種情景，鼓勵學生大膽地實踐，對他們在學習過程中的失誤和錯誤采取寬容的態度；為學生提供自主學習和直接交流的機會，以及充分表現和自我發展的一個空間；鼓勵學生通過體驗、實踐、合作、探索等方式，發展聽、說、讀、寫的綜合能力；創造條件讓學生能夠探究他們自己的一些問題，并自主解決問題。

三是創造和諧的教學氣氛。

學生只有對自己、對學科及其文化有積極的情態，才能保持學習的動力并取得成績，刻板的情態，不僅會影響學習的效果，還會影響其它發展，因此我們要努力創造寬松民主、和諧的教學空間。關注學生我們應做到：尊重每個學生，積極鼓勵他們在學習中的嘗試，保護他們的自尊心和積極性；把教學與情態有機地結合起來，創造各種合作學習的活動，促進學生互相學習，互相幫助，體驗成就感，發展合作精神；關注學習有困難的或性格內向的學習，盡可能地為他們創造語言的機會；建立融洽、民主的師生交流渠道，經常和學生一起反思學習過程和學習效果，互相鼓勵和幫助，做到教學相關。

新課程改革不是說說而已，必須要與實踐相結合，即將努力學習，積極進取，積極參與課程改革，在課堂實踐教學中不斷摸索，不斷學習，不斷實踐，不斷反思。我樂于參與遠程研修，我也樂于與廣大同仁們共同成長，我也更樂于實踐課堂教學。時代要求我們必須進步，相信在以后的工作中，我會更努力地在先進理論的指引下大力改進我的工作。

? 兒童數學超前培訓總結

關于超前教育的弊端

每個家長都希望寶寶未來可以在這個競爭激烈的社會環境下占有更多的優勢。所以很多家長在寶寶很小的時候就給寶寶灌輸英語、哲學等其他各種知識。但是過早的給寶寶灌輸知識，可能會讓寶寶精神壓力過大導致寶寶身心發育受到重創。

寶寶在三歲之前，教寶寶學習外語，詩歌等知識，都屬于過早教育。這種過早教育曾經在韓國非常的流行，他們也嘗到了過早教育給他們帶來的苦果，近年的觀察顯示，韓國嬰幼兒的精神病患者占到總體精神病患者的百分之三十以上。主要癥狀表現為情緒不安、注意力不集中、認知發達不均衡。就算讓寶寶勉強記住了一些詩歌，外文等知識，也不能讓寶寶贏在起跑線上，為什么呢?因為當寶寶到了真正學習的年齡-五周歲之后。寶寶反而會失去了認字的`能力，而且其行為能力可能還停留在嬰兒時期，會像嬰兒般的叫喊和像嬰兒一樣滿地亂爬。這就好像我們小學時學過的拔苗助長一樣，違背自然規律的行為最終會得不償失。

專家指出，不要讓寶寶三歲以前去記憶太多的知識，這個時期寶寶的記憶都是非常短暫的，今天記住明天又會忘。在五歲以前別讓寶寶認識過多的字，過于枯燥的教學會損害寶寶學習的熱情。在寶寶九歲之前不要學外語。兩種語言對于寶寶來講過于復雜，會讓寶寶邏輯混亂。那么是不是就一切隨緣，不對寶寶多加教育呢?其實想讓寶寶更好的成長，學到更多的知識，懂得更多的道理是有方法的。這種方法就是給寶寶更大的探索空間，給寶寶更多的游戲時間。讓寶寶在探索中產生學習的興趣，在游戲中學會更多的知識。至于其他知識，在寶寶有學習的興趣之后，不用家長逼也會自己主動去學，還學得更好。家長不可不察。

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以前，我科研不太感興趣，對如何撰寫案例感到困惑，對如何反思小結自己的教育教學工作也感到很迷茫。通過這些方面的校本培訓，我深受啟發。我開始嘗試寫教學隨筆、教育敘事。記得蕭伯納曾經說過這樣的話:“你我是朋友，各拿一個蘋果，彼此交換，交換后仍然是各有一個蘋果。倘若你有一種思想，而朋友間互相交流，那么我們每個人就有兩種思想了”。正是基于這種認識，我根據自己在課堂教學實踐中發現的問題、疑惑或閃光點，寫教學隨筆，以反思自己的'教學情況，在平時的課堂教學工作中發現問題，研究探討形成問題的原因，然后同事間相互交流、討論，共同提高。面對疑難問題和困惑。我仿佛有了學習、進修的動力。其他老師也大抵如此。學期末，一個個充滿智慧的教育故事就在我們老師們間競相傳閱，一個個富有啟迪的教學案例讓老師們茅塞頓開，一句句課改語錄沁人心脾。

總之，我校以課程改革和教師專業發展的需要為核心，根據教師的需求和學校發展的目標來設計校本培訓的內容，校本培訓的內容涵蓋了教育、教學、教研、科研等領域，培訓形式也是豐富多彩。通過校本培訓，我覺得我作為一名普通的教師在成長，在發展，在今后的日子里我將繼續努力學習、探索、實踐。

? 兒童數學超前培訓總結

近年來，兒童數學超前培訓在教育界引起了廣泛的關注和討論。作為一種旨在提高兒童數學思維能力和解決問題能力的教育方式，兒童數學超前培訓在培養學生的數理邏輯思維能力，培養學生的創造能力方面發揮著巨大的作用。在這篇文章中，我將從培訓內容、培養目標和培訓效果三個方面對兒童數學超前培訓進行詳細的總結。

兒童數學超前培訓的內容非常豐富多樣。培訓內容不僅包括基礎的數學知識和技能的講授，還涵蓋了數學思維的培養和數學問題的解決能力的提升。培訓機構往往會根據學生的年齡和學習情況，設計相應的課程和教材，結合游戲和趣味性的實踐活動，使學生能夠在輕松愉快的氛圍中學習數學知識。

兒童數學超前培訓的目標主要包括培養學生的數理邏輯思維能力和解決問題能力。通過培訓，學生將學會運用邏輯思維分析和解決問題，培養良好的數學思維習慣和認知能力。同時，培訓還能夠激發學生的數學興趣和創造力，提高學生的數學成績和發展潛力。

兒童數學超前培訓取得了顯著的效果。通過參加超前培訓，學生的數學成績明顯提高，解題能力和思維方式也得到了全面提升。研究表明，兒童數學超前培訓能夠提高學生的注意力和集中力，培養學生的自學能力和團隊合作能力。兒童數學超前培訓還培養了學生的數學思維方法，使他們學會從多角度思考問題，尋求解決問題的新方法，培養了學生主動學習的習慣。

兒童數學超前培訓在提升學生數學思維能力和解決問題能力方面具有顯著的優勢。通過豐富多樣的培訓內容，有效培養了學生的數理邏輯思維能力和解決問題能力，從而提高學生的數學成績和發展潛力。在未來的教育中，應該更加重視兒童數學超前培訓，通過科學合理的培訓方式和方法，為孩子們提供良好的數學學習環境，培養他們的數學思維和解決問題的能力。只有這樣，才能夠培養出更多優秀的數學人才，為國家和社會的發展做出更大的貢獻。

? 兒童數學超前培訓總結

隨著社會的發展，人們的消費也越來越高，有些人甚至會出現超前消費的現象。所謂超前消費，就是指消費者為了滿足自己的需求，提前購買商品或服務，而忽略了自我供給的經濟能力，并在未來時間內可能面臨的收入下降、資產負債等風險。下面，我們來探討一下這一現象，并提出我們自己的觀點。

超前消費不僅僅是一種消費行為，還體現了社會價值觀的變遷。曾經，人們更加注重節約，更加重視過日子；而現在，人們則更加注重享受，更加重視過好日子。不少人認為，如果不珍惜現在的幸福日子，那么未來很可能就會錯過許多美好的東西。因此，他們選擇超前消費，一邊滿足自己的需求，一邊享受生活的美好。然而，這種行為是需要謹慎的，因為它很容易讓你輸掉未來。

首先，超前消費容易讓消費者陷入負債。如果我們提前消費了大量的商品或服務，但是未來的收入無法達到這樣的消費水平，那么我們很可能就會面臨生活資金緊缺的情況，不得不進行借貸或者其他方式來維持自己的日常生活。這樣一來，我們就會背負著沉重的債務壓力，影響我們未來的發展和生活。

其次，超前消費容易促進浪費和淺薄消費。如果我們對超前消費缺乏規劃和理性，那么我們就會難以避免浪費和淺薄消費的問題。比如，我們可能會一時沖動地購買一些不必要的商品或服務，導致這些物品最終被浪費掉或者沒有得到充分的使用。而這些，對我們個人的財務和整個社會的資源都是一種極大的浪費。

最后，超前消費也可能會對我們的未來造成傷害。如果我們過度消費，那么我們就會忽略了未來的儲蓄和投資計劃。這不僅會耽誤我們未來的發展，還可能會讓我們在退休或者其他需要大量資本的時候陷入困境。因此，我們應該注意將自己的消費和儲蓄計劃相結合，規劃好自己的未來，讓錢能為我們所用。

綜上所述，我們應該謹慎對待超前消費這一行為。我們可以為自己提前計劃好一些消費和儲蓄計劃，以保證自己能夠獲得心儀的商品和服務，也不會對未來造成傷害。同時，我們也應該在平時的生活中，不斷加強自我教育和理財知識的學習，以提高我們對消費的規劃能力和財務責任感。只有這樣，我們才能更好地面對未來的挑戰，迎接更加美好的時光。

? 兒童數學超前培訓總結

今年，我參加了小學數學教師專業發展培訓，經過學習，使我受益匪淺，我的教育思想、教育觀念等都得到了更新，對我在今后的工作實踐中改進教學方法、教育教學策略有極大的的幫助。這次培訓的內容相當豐富，有一線特級教師和各地專家、教授精彩的現場講座，有到縣北門小學的跟班聽、評課研修活動，有到縣北門小學的實踐活動。還組織了小組講課、觀課、議課。能擁有此次學習機會，實在值得珍惜！現將我本此培訓后的心得體會總結如下：

一、思想靈魂、教育理念得到了洗禮。

扎根山區20多年的教學歷程，日復一日平淡的教學，唯一的目標就是自己班級學科的教學成績不能教差了，使我已慢慢感到倦怠，不時抱怨現在的學生一屆不如一屆難教難管，卻很少反思、總結自己教學的得失。可通過這次培訓，聽了各位名家的故事，他們那曲折的人生歷程，不甘于落后、不屈于平淡、勇于克服磨難的精神和人生價值觀，使我的心靈受到了震撼，靈魂得到了洗禮，思想和理念得到了更新。讓我能以更寬闊的視野去看待我們的教育教學工作，樹立了更堅定的人生觀、價值觀。有這樣一句話“不想當將軍的士兵，不是好士兵。”，通過這次培訓我有了這樣的感悟：“不想成為名師的老師，不是好老師?！保粦摪呀虝鴥H僅當成一種謀生的職業，不該默默無聞，無所追求，要以積極的心態、高漲的激情、創新拼搏的精神去感染學生，去改變山區農村孩子被動的受教育觀和慵懶、隨意的精神態度。

二、加強學習，促進個人的專業發展。

教師要給學生一滴水，自己就必須具備一桶水。新時期的教師必須不斷更新觀念，加強學習，不斷補充專業知識，提高教育教學技能。這次培訓的專家、教授們用淵博的學識，旁征博引給我們講述深奧的理論知識，同時結合自己的教學實踐，給我們談對小學數學教學的感悟和獨到的見解，學員們個個聽得津津有味、深受啟發、感觸頗深。我深深感受到作為基礎教育工作者的我們決不能“死教書——書教死——教書死”，除了要給學生答疑解惑，還應創新其思維，培養其習慣，滲透其思想，教好書育好人。因此我們必須不斷地學習，不斷地完善，不斷地提升，才能滿足社會的需求，才能適應世紀的挑戰，才能勝任教師這一行業。

三、構建有效的課堂。

有效的課堂，教師要做到先學后導，把先學后導貫穿于課前、課中、課末，并要以建材主義教學為基礎，遵循學生認知規律，從學生已有的知識基礎經驗出發，幫助學生找準新舊知識之間的轉化關系。這需要教師創設真實的情景來互動，教師設問題，學生自主提出問題、探究、合作解決問題，使整個課堂教學活動充滿生機與活力。

培訓已拉下帷幕，卻給了我一個新的起點，這次培訓給我補充了元氣，更新了理念，樹立了目標，堅定了人生觀、價值觀。真正感受到教育是充滿智慧的事業，深刻意識到教師職業的責任與神圣。必須懷著崇高的責任感與使命感，服務于山區農村的基礎教育，把課上“活”、把人育“強”。

? 兒童數學超前培訓總結

經過一個階段的小學數學培訓，使我受益匪淺，感受很多，小學數學培訓總結。教師要適應新課程教學，就必須接受繼續教育。應對新課程充分理解，誠心接受，熱情投入，有效實施并根據新課程要求，不斷提高自身綜合素質。在新課程實施中實現自身發展，教師的發展又將構成新課程實施的條件。

通過學習，使我對新課程標準有了進一步的理解，對新教材有了一個新的認識，獲得了教材實驗操作上的一些寶貴經驗。其中感觸最深的是新教材特別關注學生的全面發展。由原來過多地關注基礎知識與技能的形成轉變為在學習基礎知識與技能的同時，更加關注學生的情感，態度、價值觀。新教材的編寫從兒童的現實生活與童真世界出發。圖文并茂，版式多樣、風格活潑，色彩明麗，能吸引學生閱讀，激發學習興趣。因此，面對耳目一新的教材。我們當教師的就應該理解教材目標，明白把握教材編排的特點，選用恰當的教學手段，努力為學生創造一個良好的有利益學生全面發展的教學情境。從而達到激發學習興趣，使學生積極主動的參與到教學中來。那下面就根據自己對課程標準的理解談點體會。

一、創設親身體驗情境，激發學習興趣、培養學習的主動性。

心理學告訴我們，學生的學習積極性，很大程度取決于學習興趣。因此，教師在教學活動中就要用各種教學手段，努力為學生創設一種寬松、愉快、與諧的教學情境，引發學生積極思考，主動學習。新教材中例題，習題的安排都與學生的生活實際非常接近，許多情境圖完全可以通過學生實際活動，親身體驗來表現。同時學生也會感受到學習不是枯燥的，而是有趣的。所以教學時完全可以根據實際情況采用游戲，表演等實際活動將情景圖所提供的內容進一步動作化，情景化，使學生全身心地置身于真實的數學活動情境中，增加實際體驗，親身感受數學，還可用現代化教學手段創設情境，使靜態的畫面動作，抽象的知識形象化，具體化、渲染氣氛，創設學習情境。

二、 創設求異情境，感悟計算方法，體現算法多樣化。

新教材體現的是算法多樣化的教學思想。因此教師在教學中要鼓勵學生大膽思考，用同一個問題積極尋求多種不同的思路，使之有所發現，有所創新，讓學生充分暴露與展示思考問題的過程，發表獨特地見解。對于學生的不同想法，教師要及時地給予肯定與表揚，使他們享受到成功的喜悅，增強創造性活動的信心。如新教材在編排“9加幾”的計算時，注意體現新的教學理念，設計的情境有利于學生了解現實生活中的數學，讓學生感受到數學與現實生活的密切聯系。這樣既培養學生從多方面，不同角度思考問題的能力，同時學生的求異思維也得到了培養。

當然，教學過程中創設情境，培養學生學習主動性的方法是很多的。手段不盡相同。但無論什么方法，都必須以學生的全面發展為根本，努力為學生創造一個良好的學習情境。只有這樣，我們的教學才能適應社會的發展。從而為社會培養出一代新型人才。

眾所周知，課改是一次對傳統教育的革命。它打破傳統教育原有的單一、教條的教學模式，構建以人為本、百花齊放的新型教學體系。它變沉悶、閉塞的課堂為歡聲笑語，使課堂充滿自由、民主、與諧的氛圍；它更注重的是師生的交流、學習過程以及學習過程中自主探究、合作交流的情感體驗，它還注重在學習過程中培養學習與做人的品性。

三、創設與諧課堂，轉變師生角色，體現學生主體地位。

隨著新課程的運行，教師要調整好自己的角色，改變傳統的教育方式。教師在課堂上所扮演的角色直接影響著教學效果。按照新課程的要求，教師應當幫助學生制定適當的學習目標，并確認達到目標的最佳途徑；指導學生形成良好的學習習慣，掌握學習策略。應積極創設豐富的教學環境，激發學生的學習動機，培養學生的學習興趣，為學生提供各種便利，為學生的學習服務。教師作為學生學習的促進者、組織者，要與學生分享自己的感情與想法，與學生一道尋找真理，并且能夠承認自己的過失與錯誤。從而真正體現“以人為本”、“以學生為中心”，讓學生成為學習的主人而不是知識的奴隸。

總之，新課程對教師提出了教育專業工作者的要求，我們只有作好充分的準備，進行精心的教學設計，才會在教學中使學生真正地動起來，經歷＂與人合作，并與同伴交流思維的過程與結果＂，使學生善于傾聽他人發言，樂于陳述自己的想法，敢于修正他人的觀點，勇于接受他人的意見；這些都有利學生主動地參與學習，有利于提高個體的學習動力與能力，才會使他們感到無限快樂，感到自己精神的、智慧的力量在增長，使學生的個性得以充分的發展。

? 兒童數學超前培訓總結

這十天的培訓學習中，我積極熱情的參與和配合,有輔導教師的積極努力和大量細致的工作，有廣泛的全方位的研討和評議，使這次培訓工作圓滿完成。一、首先對新課程的認識更進一步：1、數學知識與實際生活緊密相連

數學是人們對客觀世界定性的把握和定量的刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。這個過程是來源于生活實際的，它在人類社會中，是無處不在的，有著非常重要的作用，它并不是孤立于書本之上的，它是與生活有著緊密聯系的，是與生活密不可分的，所以數學應該是來源于生活，并且能夠解決生活實際問題的。因此，在新教材的編寫中更多的采用了生活化與情景化的場景，使學生覺得學有所用并能投入其中。2、更注重學生全面、持續、和諧的發展教材的設計更注重面向全體學生，培養學生的個性。我們知道每一個學生因為生活環境，智力發展，性格特點等多種原因會造成，每個人對知識的理解和接受有差異，表現出學習的效果不盡相同。這種現象是切實存在的，而教師應充分尊重學生的這種差異，對每個學生提出合理的要求，使每個學生都學有價值的數學，不同的人在數學上獲得不同的發展。3、形式和內容更加多樣化高中數學課程分必修和選修。必修課程由5個模塊組成，必修課程是每個學生都必須學習的數學內容。選修課程有4個系列，其中系列1、系列2由若干個模塊組成，系列3、系列4由若干專題組成；每個模塊2學分（36學時），每個專題1學分（18學時），每個專題可組成1個模塊。對于選修課程，學生可以根據自己的興趣和對未來發展的愿望進行選擇。4、數學教學活動更加豐富隨著教育改革的不斷深入，傳統教學的改革已勢在必行。變“要我學”為“我要學”就要求教師要給學生充分的時間和空間，給學生提供豐富的學習資料，讓他們通過討論、交流等多種形式的學習，使學生自主學習可以自學的內容。

新課程理念的核心是"為了每一位學生的發展"，我想這就是評價新課程課堂教學的惟一標準。

二、體會到新課程的變化：

1、首先，我們要把握新課程的宗旨：讓學生在娛樂中不知不覺掌握教學內容，得到情感體驗與教育，注重發揮學生的主體性和主動性，變被動接受為主體參與，學生變要你學為我要學，教師變傳授者為引導者。在這一宗旨的帶領

下，注重設計，注重方法，注重課堂實效，從而實現“知識技能為基礎目標，過程方法為核心目標，情感、思維和價值觀為最終目標”的三維整合。教學中要抓過程和方法，通過過程和方法，使學生學到基礎知識，掌握基本技能，全面訓練學生思維以及想象力、觀察力、語言表達能力和團結協作精神，永遠要高度重視對學生自信心的樹立和培養，培養吃苦耐勞、樂觀向上的精神，為他們人生第一節作好奠基。

2、教師設計問題、學生提出問題，師生互動，最終解決問題，就是教學主要內容和教學目標實現的具體過程。學生在“樂中學，學中樂”是實施新課程在思想方法上的精髓，這就是轉變觀念。

3、作為教師，我們要徹底轉換角色，變原來的主演為導演，教師的主要任務是導課，當然也要講課；變學生原來是觀眾為主演員，是他們在具有樂趣的氣氛中人人思考、人人參與、人人活動，使知識、情感在每個學生的心中流動，人人能得到能力的提高，分小組討論學習就是實現這一目的的好方法。

4、教師要充分地相信學生，讓學生做學習的主人，進行自主合作、探究式的學習。

5、在新課改的實施當中，教師應成為教材的研究者，探索者，而不是單純的照本宣科的傳授者，教師要成為新型的、民主的`、研究型的、藝術型的老師，我們要把教育工作當一番事業來干，不能只當一份工作來做，只有這樣，才能受到學生和家長的歡迎。

6、在課堂教學中，學生人人都能想問題、提問題、解決問題，是開啟智慧的金鑰匙。要時刻注意和實際生活相聯系，培養學生動手操作的能力。

7、今后，我們還要不斷豐富我們的知識，刷新概念，改變方法，新舊結合，創出我們自己的教育教學特色，為教育事業服務。

三、體會到了課改的艱辛我在學習之余，與各地的教師私下也做了交流，深感課程改革前途光明，但眼下困難與阻力也不容忽視。

若要課程改革成功，尚須方方面面的努力。這困難有來自經費方面的－－經費嚴重不足或使用不當；有來自教育內部的人人關心的終結評價尚未出臺，廣大教師和家長以及社會各界對最后的評價十分關切；農村教師的素質的提高問題；高中與初中的課程銜接問題，高考的問題；課程標準與教材中的問題；市場上大量充斥的濫編濫印的教輔教材問題；教師的素質水平和對課程改革的認識以及培訓的一些問題幾天的學習緊張而有序，研修使我們了解了課程改革的理念，了解了數學教育的方向，了解了教材的設計思路，了解了數學課堂教學的實施。也體會到了課程改革的艱辛。

四、增加了新的思考我覺得我們每位教育工作者身上的擔子都不輕

因為進行新課程僅僅有熱情是不夠的，必須要有比較充分的理論準備，必須要有教育觀念的更新。為了課程改革的成功，為了下一代人的數學教育，我們數學教育工作者都應關注，都應思考，都應行動，都應付出，都應探索。為了課程改革的成功，為了數學教育的美好明天，讓我們共同努力，在新課程的土地上辛勤耕耘。

? 兒童數學超前培訓總結

數”的產生成為人類文明發展的一個重要的標志。人類從識別事物多寡的原始的數覺能力，到抽象的“數”概念的形成，經歷了一個緩慢漸進的過程。

第一次擴充：分數的引進；第二次擴充：0的引進；第三次擴充：負數的引進；第四次擴充：無理數的引進；第五次擴充：復數的引進。

從原有數集擴充到新數集所遵循的原則：原數集是擴充后新數集的真子集；原數集定義的元素間的關系和運算在新數集中同樣地被定義；原數集中的元素在新數集中定義的運算結果與在原數集中的運算結果一致，且基本運算律保持；在原數集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數集中能夠施行；新數集是滿足上述四條的數集中的最小數集。擴充方法：一種是把新引進的數加到已建立的數系中而擴充。另一種是從理論上創造一個集合，即通過定義等價類來建立新數系，然后指出新數系的一個部分集合與以前數，一種新的數，也就實現了數系的一次擴張。引入了負數，就實現了這個數系關于加減運算的自封閉。

有理數有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點分別標設為0和1。正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。對于分母q的有理數，就可以用把單位區間q等分的那些分點表示。每一個有理數都可以找到數軸上的一點與之對應。

無理數的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實現了數系的又一次擴張，可以滿足數學上開方運算的需要，實現了實數系關于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個有理數都將全部有理數分為兩類，使得第一類中每個數都小于第二類中的任一個數，這個分類的有理數可以算在兩類的任何一類中。利用這個分割法可以得到無理數的定義。

所建立的數系是同構的。

自然數的兩大基本理論：基數理論和序數理論

基數理論當我們把所有表示數量的符號放在一起就得到了一個集合，我們稱之為“數集”，為了度量“數集”當中表示數量的符號個數，我們首先要定義一個概念就是“基數”。19世紀中葉，數學家康托以集合理論為基礎提出了自然數的基數理論。等價集合的共同特征稱為基數。對于有限集合來說，基數就是元素的個數。自然數就有有限集合A的基數叫做自然數。記作“”。當集合是有限集時，該集合的基數就是自然數?？占幕鶖稻褪?。而一切自然數組成的集合，我們稱之為自然數集，記為N。

序數理論皮亞諾1889年建立了自然數的序數理論，進而完全確立了數系的理論。是根據一個集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數集里的元素按1、2、……這樣一種基本關系而完全確定下來。

定義非空集合N中的元素叫做自然數,如果N的元素之間有一個基本關系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：

（1）0∈N；

（2）0不是N中任何元素的后繼元素；

（3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；

（4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；

（5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構成的系統稱為皮亞諾公理系統，它就是自然數系。

自然數0是作為空集的標記。在空集中，“0”作為記數法中的空位，在位置制記數中是不可缺少的。

自然數系所蘊含的思想

對應思想（可數的集合）自然數建立在對應概念之上，而且對應的思想也成為自然數的一個重要性質。一一對應關系是集合論中建立兩個集合“相等”關系的一個重要概念。（導致了俗稱“理發師悖論”的羅素悖論的發現）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，后又經過德國弗芝克爾改進形成了一個無矛盾的集合論公理系統（ZF公理系統）。數位思想

位置制記數法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數的排列，以表示不同的數。用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進位位置制記數之產生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。

負數的數學含義至少包括如下幾個方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負

數學符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數學符號的意義在于：有了數學符號，才使得抽象的數學概念有了具體的表現形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數學思維能以直觀的、簡約的形式表現出來。

字母代表數代數，原意就是指“文字代表數”的學問。使得許多算術問題可以轉換為代數方程問題求解。根本的內涵是“未知數的符號x可以和數一樣進行四則運算。文字代表數的真正價值在于：字母能夠和數字一起進行四則運算和乘方、開方，進行指數、對數、三角等運算，乃至對字母進行微分、積分運算等等。

解析式數字、字母、運算符號按照一定規律有意義地結合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規律和變形規則。解析式可以區分為兩大類：一類是只含有代數運算的解析式叫代數式，沒有開方運算的代數式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運算的整式稱為單項式，否則稱為多項式。另一類是包含初等超越運算的解析式統稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數式、對數式、三角函數式、反三角函數式。

解析式的恒等變形把一個給定的解析式變換為另一個與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因為它們對一切數，代入式都相等。但是，解方程時的同解變形，不是恒等變形，。代數式數學的符號語言

代數式是在數系基礎上發展起來的。在初等代數中，所涉及的運算可分為兩大類：1代數運算2初等超越運算：指數是無理數的乘方、對數、三角、反三角運算。

定義，在一個解析式中，如果對字母只進行有限次代數運算，那么這個解析式就稱為代數式；如果對字母進行了有限次的初等超越運算，那么這個解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進一步分類：只含有加、減、乘、除、指數為整數的乘方運算的代數式稱為有理式；其余的代數式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱為整式（或多項式），其余的有理式稱為分式。

“數”發展到“式”的意義導致了運算形式化、程序化及規則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數系的擴大化問題。將抽象的符號運算應用到更一般的對象上，開辟了構造數學的新方向，為抽象代數學的發展埋下了伏筆，成為近代數學的顯著特征。

數學符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質的特征，從而具有代表性和一般性。另一個重要的屬性在于它的形象性。數學符號不但精確地表示數學抽象，而且是抽象內涵的簡約形象。等式和方程

（一）方程的含義“含有未知數的等式叫方程”。這個定義簡單明了，為大家所習用。不過，這個定義有不足?！胺匠淌菫榱藢で笪粗獢?，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系?！卑逊匠痰暮诵膬r值提出來了，即為了尋求未知數。

判斷一個代數式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數。方程的概念一般用于兩個領域：“求某個未知數的數”和“曲線與方程”在這兩個領域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個數（或解集的大小）與方程的存在域的大小有直接關系。

方程的分類依照方程解的個數分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個解、有無窮多個解和全體實數解等。方程按照它所含有的未知數的個數來分類：集。兩個不等式的解集相同，則稱這兩個不等式是同解的。

不等式有三個基本性質：1不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實際應用在運動變化過程中，如果用函數模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關系，是更普遍存在的狀態。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應用。不等式蘊含的思想

（一）模型思想與相等現象相比，不等現象是現實世界中更為普遍的現象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

方程借助用字母表示數的代數思想，將未知數同已知數一起描述問題的代數表達形式，形成了方程的基本思想。

方程思想具有很豐富的含義，其核心體現在：一是模型思想，二是化歸思想。學習方程內容最主要的事情集中在兩個方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關于方程建模大自然的許多客觀規律都表現為量與量之間的某種關系，將它表示出來往往就是一個方程式。初中方程的教學不能過分地停留在數學層面上必須使學生真正體會到數學與現實生活密不可分的聯系。體會方程是一種用數學符號提煉現實生活中的特定關系的過程。必須學會抽象將關系抽象為數學符號。

方程設計思想的思路先進行生活中的提煉，然后到數學表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。

初中數學方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。

等式與方程的關系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式

學習的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規律。其次，研究不等式可以導致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個區域。

不等關系與相等關系既是矛盾獨立的，也是相互統一的。不等關系往往可以等價地轉化為相等關系加以解決。

不等式的含義兩個實數或代數式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實數代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內的實數代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實數值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當不等號兩邊的解析式都是代數式時，稱為代數不等式；兩邊的解析式至少有一個是超越式時，稱為超越不等式。不等式解集表示方法

不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個不等式解集的交集叫做不等式組的解集。

一個不等式的解集表示方法1數軸表示法即在數軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區間表示法即用區間來表示不等式的解

刻畫不等現象的有力模型。通過分析實際問題中的數量關系，列出不等式，通過解不等式得到實際問題的答案，這就體現了不等式的模型思想。同時，這種模型經常與函數、方程聯系在一起，三者都是刻畫現實世界中量與量之間變化規律的重要模型，在解決實際問題時，要合理選擇這三種重要的數學模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價”關系。這是一種辯證關系。恰當地運用這種思想可以輕松地化解相當多的問題。（三）數形結合思想根據題意可列出不等式組，運用數軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數形結合思想。函數

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型。

1755年，歐拉首次給出了函數變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后面的變量變化時，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數?！庇纱搜葑優槟壳暗暮瘮档摹白兞空f”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個變量，如果對它的每一個值，都有未知量W的每一個值與之對應，則稱W是Z的函數?！?。1939年，布爾巴基學派主借用了笛卡兒積建立關系，進而定義函數：

1）對

中每一個元素

，存在

，使

；

（2）若且，則。函數記作：”分別稱以上函數定義為變量說、對應說和關系說。函數概念的核心思想

數學的核心是研究關系，即數量關系、圖形關系和隨機關系。函數研究的是兩個變量之間的數量關系：一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也發生變化，這就是函數表達的數量之間的對應關系。其中有三點是重要的，一是變量的取值是實數；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數字以外的符號表示函數。函數的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。

解析式是最常用的方法，適用于表示連續函數或者分段函數。解析式有利于研究函數性質，構建數學模型，但對初學者來說也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數的形態，有利于分析函數的性質，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數可因題而議。中學數學研究的函數性質

數學中研究函數主要是研究函數的變化特征。中學階段主要研究函數的周期性，也涉及

奇偶性；在高中階段主要研究函數的單調性、周期性，也討論某些函數的奇偶性。（一）函數的周期性周期性反映了函數變化周而復始的規律。是中學階段學習函數的一個基本的性質。周期函數是刻畫周期變化的基本函數模型，使我們集中研究函數在一個周期里的變化，了解函數在整個定義域內的變化情況。

（二）函數的奇偶性函數的奇偶性也是我們在中學階段學習函數時要研究的函數的性質，但它不是最基本的性質。奇偶性反應了函數圖形的對稱性質，可以幫助我們用對稱思想來研究函數的變化規律。

（三）函數的單調性單調性是討論函數“變化”的一個最基本的性質。從幾何的角度看，就是研究函數圖像走勢的變化規律。函數與其它內容的聯系

（一）函數與方程用函數的觀點看待方程可以把方程的根看成函數與x軸交點的橫坐．解析幾何的產生與發展

笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數對的對應，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產生了。現代幾何的產生與發展

人們不斷發現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數學課程中的幾何學內容

（一）直觀幾何幾何學是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維。“形象思維”也就是強調幾何直觀。

（二）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關系時，不能僅僅依靠直觀實驗的方法，標，即零點的橫坐標。方程可看作函數的局部性質，求方程的根就變成了求函數圖形與x軸的交點問題。

（二）函數與數列數列是特殊的函數。它的定義域一般是指非負的正整數集，有時也可以為自然數集，或者自然數集的子集。數列通常稱為離散函數。等差數列是線性函數的離散化，而等比數列是指數函數的離散化。

（三）函數與不等式我們首先確定函數圖像與x軸的交點（方程f(x)=0的解），再根據函數的圖像來求解不等式。

（四）函數與線性規劃是最優化問題的一部分，從函數的觀點看，首先，要確定目標函數，用目標函數來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標函數的可行域。最后，討論目標函數在可行域（由約束條件確定的定義域）內的最值問題。

解線性規劃問題，可歸結為以下算法：第一步，確定目標函數；第二步，確定目標函數的可行域；第三步，確定目標函數在可行域內的最值。函數模型

函數是對現實世界數量關系的抽象，是建立思想模型的基礎，具有良好的普適性和代表意義?，F實生活中，普遍存在著最優化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數建模的思想進行解決。在運用一次函數知識和方法建模解決時，有時要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。

在實際的教學中，除了使學生了解所學習的函數在現實生活中有豐富的“原型”之外，還應通過實例介紹或讓學生通過運算來體驗函數模型的多樣性。

通過實例，讓學生體會、感受數據擬合在預測、規劃等方面的重要作用，使學生們學會用數學的知識、思想方法、數學模型解決實際問題，提高運用數學的能力．要鼓勵學生收集一些社會生活中普遍使用的函數模型的實例進行探索實踐．第二章圖形與幾何四個基本階段。

實驗幾何的形成和發展

人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經驗事實之間的聯系，形成了實驗幾何。理論幾何的形成和發展

柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎，歐幾里德按照嚴密的邏輯系統編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。

以一些原始概念和公理為出發點，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數公理，但是，主要立足邏輯進行幾何概念及其性質的分析研究，這就是演繹幾何。

（三）度量幾何對一些圖形進行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當的延伸。（四）變換幾何也叫運動幾何。這個領域主要討論平移、旋轉、反射等剛體運動，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標系。坐標系將幾何對象和數、幾何關系和函數之間建立了密切的聯系，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關系的研究了。

經驗幾何所謂經驗幾何，通常是直觀幾何、實驗幾何的通稱，它特別關注學生幾何活動經驗的積累，以及幾何直覺的發展。經驗幾何的作用

幾何學是研究現實世界物體的形狀、大小和位置關系的學科,而后發展成為研究一般空間結構、圖形關系的學科。

（一）經驗幾何則是發現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直覺思維和創造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經驗幾何是學習推理論證幾何的必要前提。

學習的內容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實驗幾何的充分學習，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺性的了解、操作性的了解，進而形成幾何推理。

另一方面，我們用來作為推理基礎的幾何性質，一部分是利用實驗歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質進行“推論”而導出的結果。

（三）實驗幾何是幾何學習的一個階段和一種認知水平，更是一種幾何學習方法。總之，實驗幾何作為幾何學習的一個階段，在學生幾何學習過程中起到承上啟下的銜接作用；同時，實驗幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學習的一種有益于發現真理、幾何直觀幾何直觀具有發現功能，同時也是理解數學的有效渠道。數學概念經過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數學對象為基礎進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標和可應用性要求,這要求數學的直觀與形式的統一，才使得數學的完美。

幾何直觀及其作用《數學課程標準》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述

和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。

幾何直觀對于學生的數學發展非常重要：

首先，幾何直觀是一種創造性思維，是一種很重要的科學研究方式，在科學發現過程中起到不可磨滅的作用。對于數學中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數學家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數學發現的向導，隨著現代科技的發展，幾何直觀在計算機圖形學、圖象處理、圖象控制等領域都有誘人的前景。

其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎,有助于學生對數學的理解。

借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創造了一個自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積

物體的表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區域具有一定的大小，對一個二維圖形的表面進行度量以后，用一個“數”標志它的大小，稱這個數為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規定為1平方米。

于是，對于邊長為整數a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個邊長為1米的正方形，進而，這個矩形就由ab個單位正方形組成，從而，這個矩形的面積為ab平方米（整數）。如果矩形的邊長A，B是無理數，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數逼近無理數，an→A,bn→B。依據anbn→AB，以及有理數邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。

這個過程實際上論證了“邊長相等的兩個矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機會，揭示經驗的策略，創設不同的數學情景，使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程；使學生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數學觀。

最后，幾何直觀是揭示現代數學本質的有力工具，有助于形成科學正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質和關系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數學創造性工作歷程，能夠開發學生的創造激情，形成良好的思維品質。

直觀幾何主要包含哪些內容

以大量豐富的實例為背景，通過觀察、操作來探索認識基本圖形的性質。這些基本圖形主要包括點、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規作圖、視圖和投影等。這些內容構成直觀幾何的重要組成部分。經驗幾何的具體研究內容

初中幾何的主要課程教學目標在于，“積累幾何活動經驗，發展幾何直觀、空間觀念，進一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發展幾何直觀、積累幾何活動經驗、培養空間觀念，則是經驗幾何的核心目標。按照初中階段的經驗幾何認識過程的不同，通?？梢詫⒔涷瀻缀蔚膶W習內容，分成認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉換、在運動與變換中研究幾何圖形的有關性質三部分。度量幾何幾何學起源于圖形大小的度量。根據圖形的維數，把度量一維圖形大小的數稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標志三維圖形大小的數。線段長度是一切度量的出發點。

長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數。1960年以后，用激光定義“米”。

目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權度大會重新把國際標準制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內在真空中所走的長度，稱為“米”。

如果可以用一個線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數倍，我們稱兩個線段M，N是可公度的。

輾轉相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個線段減去短的那個線段，如此輾轉截取，直到兩個線段一樣長，這個長度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學派，發現正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度。”

比”。

海倫-秦九韶公式

劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個相等的圓，把它們等分成相同的若干個全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個鋸齒形互相嵌入即成一個近似的矩形。份數分得愈多，其結果愈接近矩形，這個矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質或物體所占空間的大小。

（1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內，如果被度量的幾何體恰好被a個正方體填滿，那么這個幾何體的體積就等于幾個單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關公式計算出這個幾何體的體積。“面積公理”與測度公理

既然圖形是一個集合，而相應的圖形的面積是一個數，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個函數。這個集合函數顯然是非負函數，而且正方形的面積是1。當然，兩個不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個圖形的面積之和。最后，如果圖形經過移動、旋轉、反射，其面積應該不變。這些性質放在一起，就成為面積公理的內容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實上，這個結論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節變換幾何

變換就是一個集合到另一個集合的映射。幾何變換、變換群的概念

幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學的研究有重要作用。

變換群。實際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個群，就有相應的幾何學，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質與不變量，就是相應幾何學的主要內容。

在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

全等變換

如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個全等的圖形上每兩個對應三角形有相反的方向，并且每兩個對應的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個相似圖形的每對對應三角形有同一的方向,每對對應角有同一方向。反演變換

在平面內設有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個異于O點的點P，將其變從認知規律看，幾何學習的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認→演繹推理→度量計算。

歐幾里得與演繹幾何

公理化方法淵源于幾何學，而幾何學起源于埃及。

希臘數學家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內容豐富，結構嚴謹，對于幾何學的發展和幾何學的教學都起了巨大的作用，它被人們贊譽為歷史上的科學杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進行處理的利弊得失

《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點P/，且使OP/OP=R，這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應，它使位于圓內的點變成圓外的點,位于圓外的點變成圓內的點，反演中心變成平面內的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變。空間反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉，反射平移、旋轉與反射的初步描述

圖形相似的思想方法體現在圖形相似的概念、性質和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結為如下五個方面：

（1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現出化歸思想

（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。

（3）結構相同，即“同構”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。

（4）圖形相似提供了認識三角形的另一個途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構成元素的認識。

（5）借助必要的工具和手段是學好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關系

（一）平移、旋轉、反射變換是全等變換

（二）平移、旋轉都可以由若干次反射（軸對稱）的復合而得到。

對于平移、旋轉和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發現，其中，軸對稱（變換）更為基本。

（1）對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的`結果等同于一次平移；

（2）對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結果等同于一次旋轉，旋轉中心就是兩條對稱軸的交點。反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉，可以通過連續的兩次軸對稱來完成。

（3）任意一個合同變換至多可表示為三個反射的乘積。第五節演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結構方面，這是一個十分杰出的典范。正因為如此，自本書問世以來，思想家們為之而傾倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現代科學產生的一個主要因素?？茖W絕不僅僅是把經過細心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已?？茖W上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經驗同試驗進行結合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理?？梢钥隙ǖ卣f，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現在歐洲，而不是東方。或許，使歐洲人易于理解科學的一個明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數學知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。

歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數學原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學家都效仿歐幾里得，說明他們的結論是如何從最初的幾個假設邏輯地推導出來的。許多數學家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進行比較，情況尤為令人矚目。多少個世紀以來，中國在技術方面一直領先于歐洲。但是，從來沒有出現一個可以同歐幾里得對應的中國數學家。其結果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數學理論體系（中國人對實際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個世紀的時間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。

如今，數學家們已經認識到，歐幾里得的幾何學并不是能夠設計出來的惟一的一種內在統一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經創立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經認識到，在實際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學無法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當特殊的。在大多數情況下，歐幾里得的幾何學可以給出十分近似于現實世界的結論。不管怎樣，人類知識的這些最新進展都不會水削弱歐幾里得學術成就的光芒。也不會因此貶低他在數學發展和建立現代科學必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發你少年時代的科學熱情，那你肯定不是天才科學家?！庇纱丝梢?，《原本》一書對人類科學思維的影響是何等巨大。

從數學教育的角度看，歐幾里得的邏輯結構是串聯型而不是放射型的，《原本》的每一節都那么重要，一節學不好，繼續前進的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認為難學的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數學課程教學改革的焦點?！对尽穾缀醢酥行W所學習的平面幾何、立體幾何的全部內容。如此古老的幾何內容，自然成了歷次數學課程改革關注的焦點。其中，最為激進的，如法國布爾巴基學派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內容，仍然構成了多數國家中小學數學幾何部分的主要內容。有人稱之為“不倒翁現象”。這是因為，歐氏幾何從數學的視角，提供了現實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們人類的生存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關系。所以，這個模型的基本內容是學生能夠理解和掌握的，而且應用廣泛的基礎知識。它比三種幾何的關系

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。

義務教育階段幾何課程內容的基本定位義務教育階段幾何課程設計的特點簡析義務教育階段幾何課程設計的特點與以往的綜合幾何課程設計風格相比，《數學課程標準》下的幾何已經將直觀幾何和實驗幾何的觸角伸向了小學低年級，同時歐氏幾何的體系和內容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學生學習，也有利于引導中小學生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。

盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學習價值，但在以往的教學中，它又確實逐步暴露出一些問題，例如，內容體系比較封閉，脫離實際，教學代價太大等等。①這些問題需要數學課程的設計者與數學教學的實踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學法方面的改進。首先是內容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實用價值和對繼續學習發揮基礎作用的內容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實與幾何應用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現代數學的觀點，高屋建瓴地處理傳統的內容。其中幾何圖形的運動變換觀點就是這樣的重要觀點之一。

從國際上數學課程改革的歷程來看，第二次世界大戰以后，特別是在上世紀60年代的“新數學”改革的浪潮中，將運動觀點引入幾何，成了一種時尚。確實，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進變換能使圖形動起來，有助于發現圖形的幾何性質。相關的許多實驗，有的因觀點太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應思想的滲透，在某種意義上給傳統算術與代數注入了新的血液，那么，運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數學觀點和更新的研究視野。

對第五公設是否獨立的研究導致了非歐幾何的發現。

非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數學分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何

家羅巴切夫斯基發現非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設與歐氏系統的其余公理是獨立無關的。黎曼幾何

歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。制，另一方面體現在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時，弱化了的部分也還會在高中繼續出現。

新理念下義務教育階段幾何課程設計的突出特點體現為：以“立體平面立體”為主要線索，強調與學生生活的聯系；適當地拓寬活動領域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調學生的直觀體驗學習的方法；注重發展的空間觀念，發展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經驗基礎之上的幾何推理的學習。

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。

推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發，按照規定的法則證明（包括邏輯和運算）結論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性。

直觀幾何、實驗幾何課程設計特點與綜合幾何的差異

與綜合幾何相比，直觀幾何、實驗幾何有著更現實的意義和課程設計的特色：

1．不同的課程目標和價值取向

從課程設計的角度看，直觀幾何與實驗幾何更接近于認知發展取向的課程設計模式，而綜合幾何屬于典型的學術主義價值取向的課程設計模式。

2．不同的教育學、心理學基礎和不同的師生關系

以論證為主的綜合幾何課程設計，立足于行為主義心理學，主張師生之間建立“以教為主、以教促學”的師生關系。相比之下，直觀幾何、實驗幾何課程設計觀認為，有意義的幾何教學應當建立在學生的主觀意愿和知識、經驗基礎之上，依賴學生的動手實踐、自主探索和交流合作，教師在教學中的角色應該定位在學習的組織者、引導者和合作者、參與者，注意學生在學習中所處的不同文化環境、教室文化、社區文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學生之間應該努力構建一種和諧、互動的新關系。

3．不同的課程設計風格

在課程論中，課程有學科型課程與經驗型課程之分。除了學科型課程和經驗型課程外，大多數課程介于兩者之間。直觀幾何、實驗幾何屬于典型的經驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學科型課程。當前，我國實行的義務教育課程標準實驗教科書大多介于學科型課程與經驗型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛”，而有的更靠近前者，“中規中矩”。

4．不同的教學要求

在直觀幾何、實驗幾何課程實施過程中，學生的直觀感受和幾何活動經驗是學習的基本出發點和必不可少的載體，而且直觀教學變得十分重要。在這種課程設計時，有的是在抽象的學科主線中不斷閃現出內容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學是研究平面圖形的形狀、大小和位置關系的科學，培養和提高學生識圖、作圖能力是學好幾何的必要環節。因而，在直觀幾何、實驗幾何課程設計模式下，采用直觀教學至關重要，可使學生一開始便進入到直觀教學所創設的情盡管全國初中數學課程標準實驗教科書彼此之間都有差異，但是，發展幾何直觀與推理

能力是普遍趨勢。第三章統計與概率

準確理解數學、概率、統計之間的關系

（一）研究問題的出發點不同數學研究的對象是從現實生活中抽象出來的數和圖形。數學研究問題必須有定義，即數學研究問題的出發點是定義，沒有定義無法進行數學的研究。統計研究所依賴的是模型，構建一些模型的基礎上進行研究。但是，統計與數學有著密切的聯系，我們拿來數學的很多知識、思想方法作為統計分析的工具。

（二）研究問題的立論基礎不同從數量和數量關系這個角度考慮，數學是建立在概念和符號的基礎上的。而統計學是建立在數據和模型的基礎上，雖然概念和符號對于統計學的發展也是重要的，但是統計學在本質上是通過數據和模型進行推斷的。

境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現情景，給學生以鮮明生動的形象，學生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理

新理念下義務教育階段幾何課程設計的突出特點體現為：以“立體平面立體”為主要線索，強調與學生生活的聯系；適當地拓寬活動領域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調學生的直觀體驗（幾何課與實際活動課有天然的聯系）學習的方法（即“操作”+“推理”）；注重發展的空間觀念，發展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經驗基礎之上的幾何推理的學習。

初中階段屬于從直觀幾何、實驗幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實驗幾何，但包含一點點說理，而九年級已經是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。

在義務教育數學課程標準下，“圖形與幾何”主要內容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質、分類和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。

在“圖形與幾何”的核心課程教學在于：幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。

如何理解初中幾何的核心目標發展幾何直觀與推理能力

在“圖形與幾何”的教學中，應幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實出發，按照規定的法則證明結論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性?；诖?，《數學課程標準》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內容。

（三）研究問題的方法不同與概念和符號相對應，數學的推理依賴的是公理和假設，是一個從一般到特殊的方法，而統計學的推斷依賴的是數據和數據產生的背景，強調根據背景尋找合適的推斷方法，是一個從特殊到一般的方法。

（四）研究問題的判斷原則不同數學在本質上是確定性的，它對結果的判斷標準是對與錯，從這個意義上說，數學是一門科學，而統計學是通過數據來推斷數據產生的背景，即便是同樣的數據，也允許人們根據自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結果，統計學對結果的判斷標準是好與壞，從這個意義上說，統計學不僅是一門科學，也是一門藝術。

數理統計方法的基本步驟建立數學模型，收集整理數據，進行統計推斷、預測和決策。當然，這些環節不能截然分開，也不一定按上述次序，有時是互相交錯的。

（1）模型的選擇和建立。模型是指關于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規定一定的類型。建立模型要依據概率的知識、所研究問題的專業知識、以往的經驗以及從總體中抽取的樣本。

（2）數據的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實驗3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個個體都加以觀測，測定所需要的指標。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關的指標值。這方面的研究內容構成數理統計的一個分支學科。叫抽樣調查。

（3）安排特定實驗以收集數據，這些特定的實驗要有代表性，并使所得數據便于進行分析。

（4）數據整理。目的是把包含在數據中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當的圖表，如散點圖，以反映隱含在數據中的粗略的規律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數字特征，以刻畫樣本某些方面的性質，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統計量。

（5）統計推斷。指根據總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關總體分布的某種論斷。數據的收集和整理是進行統計推斷的必要準備，統計推斷是數理統計學的主要任務。

（6）統計預測。統計預測的對象，是隨機變量在未來某個時刻所取的值，或設想在某種條件下對該變量進行觀測時將取的值。

（7）統計決策。依據所做的統計推斷或預測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統計與概率的課程內容主要內容包括：

描述統計的進一步擴展----描述統計的基本目標在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數據。

滲透數理統計思想----數理統計與描述統計的根本區別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個核心的內容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數據的一個關鍵問題。學習概率的初步內容-----包括運用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計算等方法得到一些事件發生的概率；通過實驗，獲得事件發生的頻率；知道大量重復實驗時頻率可作為事件發生概率的估計值；通過大量豐富的實例，進一步豐富對概率的認識，并能解決一些實際的問題。

普查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。抽樣調查：從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查。樣本：從總體中抽取部分個體叫做總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的數量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間

在一定條件實現后，可能產生也可能不產生的現象，人們稱之為隨機現象。具備以下三個特點的試驗稱為隨機試驗：

信息。眾數只與其在數據中重復的次數有關，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數據信息，而且當各個數據的重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義。數據的離散程度

極差是指一組數據中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數據的變化范圍。方差是指一組數據中的平均數與每一個數據之差的平方和的平均數。

樣本數據的方差和標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動就越大。加權平均數的概念

加權平均數是不同比重數據的平均數，加權平均數就是把原始數據按照合理的比例來計算，即一組數據的每個數乘以它的權重后所得積的總和。平均數稱之為算術平均數，是加權平均數的一種特殊情況，加權平均數包含算術平均數，

(1)可在相同條件下重復進行；

〔2)每次試驗可出現不同的結果，最終出現哪種結果，試驗之前不能確定；

(3)事先知道試驗可能出現的全部結果。隨機事件隨機試驗的每一個可能的結果稱為一個隨機事件

樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應的一切隨機事件。數據的收集

數據收集方法有兩種：調查和實驗。在現實生活中原來就有的數據，人們通過調查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調查；抽樣調查，即為一特定目的而對部分考察對象作調查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統抽樣法。

數據的隨機性主要有兩層涵義：

一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能會是不同的；

另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發現規律。數據的整理和分析

數據分析觀念主要體現在三個方面：

第一，了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析作出判斷，體會數據中是蘊含著信息的；

第二，了解對于同樣的數據可以用多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；

第三，通過數據分析體驗隨機性。

理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）和離散程度（極差、方差、標準差）來估計總體的集中程度和離散程度。頻數和頻率

我們稱每個對象出現的次數為頻數，也稱次數。頻數也稱“次數”，對總數據按某種標準進行分組，統計出各個組內含個體的個數。而頻率則每個小組的頻數與數據總數的比值。數據的集中趨勢在統計學中是指一組數據向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數據中心點的位置所在。反映數據集中趨勢的度量包括平均數、中位數、眾數等。平均數一組數據的平均數就是用這組數據的總和除以這組數據的總個數得到的值。中位數，就是將這組數據從小到達排列后，位于正中間的數（或中間兩個數的平均數）。眾數，是指一組數據的眾數就是這組數據中出現頻數最多的數。平均數、中位數和眾數的聯系與區別

聯系：從不同角度描述了一組數據的集中趨勢。區別：計算平均數時，所有數據都參加運算，它能充分利用數據所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應用最為廣泛。中位數的優點是計算簡單，只與其在數據中的位置有關。但不能充分利用所有的數據當加權平均數中的權相等時，就是算術平均數。

統計表不僅反映某一類事物的具體數據，而且還能說明有關數據之間的關系。統計圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數據信息，直觀地反映其規模、水平、構成、相互關系、發展變化趨勢和分布狀況，即是根據統計數據所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數據所隱含信息的統計圖示法分為單式條形圖、復式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

直方圖有兩種，頻數直方圖和頻率直方圖。頻數直方圖與頻率直方圖既有聯系，又有區別。

扇形圖用圓和扇形分別表示關于總體和各個組成部分數據的統計圖叫做扇形統計圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。

扇形統計圖具有四個特點：

一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關系，

二是圓代表總體，各個扇形分別表示總體中不同的部分；

三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，

四是各個扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統計圖中，不能簡單地根據百分比的大小來比較部分量的大小。折線統計圖

用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，折線統計圖不但可以表示出數量的多少，還能夠清楚地表示出數量的增減變化情況，并且可以進行簡單的預測。折線統計圖可分為單式折線圖或復式折線圖。統計是對隨機現象統計規律歸納的研究，而概率是對隨機現象統計規律演繹的研究，在解決實際問題時，二者是相輔相成、互相關聯的

隨機事件的概率，實質上是指在客觀世界中，這個事件發生可能性大小的一個數量刻畫。

概率的定義

頻率是指事件發生的次數在全部試驗次數中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發生的可能性大小。即一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率總是趨近某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率

（1）隨機性和規律性。

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（2）概率和機會。從某種意義說來，概率描述了某件事

情發生的機會

（3）有些概率是無法精確推斷的。

（4）有些概率是可以估計的。隨機結果也具有規律，而且有可能通過試驗等方法來推測其規律。我們就是要通過觀測數據，在隨機性中尋找用概率和數學模型描述的規律性

小概率原理是統計檢驗（統計中的反證法）的基礎和依據。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發生?！稊祵W課程標準》認為，“統計與概率”應當是初中課程內容的重要組成部分。不僅如此，《數學課程標準》將“統計與概率”內容從第一學段連續編排到初中，并且規定，在初中，學生將從事數據的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進一步學習描述數據的方法，進一步體會概率的意義，能計算簡單事件發生的概率?！洞缶V》沒有涉及“概率”內容，僅僅在初中階段引入“統計初步”，并且將“統計初步”放入“代數的第（十三）部分”在《大綱》中，“統計初步”的定位是：使學生了解統計的展這一活動，有以下幾個步驟：

第一，學生觀察一件物體或一種現象，或者操作某些學具。

第二，學生在研究所觀察的物體或現象的過程中進行思考，與同伴進行討論和交流，以彌補他們在單純的觀察和操作活動中的不足。

第三，老師按一定的順序給學生們推薦活動，學生可從中作出選擇并實施這些活動，學生在選擇中有較強的自主性。

第四，這一活動可以以課內外相結合的形式進行，學生每周至少花兩個小時進行同一個主題的活動，并應保證這些活動在整個學習進程中的持續性和穩定性。

第五，每個學生都記錄活動過程。通過這一活動，學生逐漸學會操作，同時加強和鞏固口頭和書面表達能力，發展解決問題的能力，增進對數學的理解力。如何理解數學研究性學習

思想，掌握一些常用的數據處理方法，能夠用統計的初步知識解決一些簡單的實際問題。簡單的平均數和加權平均數

所謂加權平均數，是指各個數據的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權重”表示，即加上各個數據在全體數據中占有的比例（頻率）再作和。數學期望的定義事前預期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實踐與綜合

設置“實踐與綜合”領域目的在于體現其橋梁作用（即，數學不同領域之間的橋梁作用以及數學與外部之間橋梁作用）和綜合價值，綜合運用數學知識、技能、思想、方法等解決現實問題，幫助學生積累直接的數學活動經驗，發展學生的綜合能力。關于“實踐與綜合”的教育價值和課程目標

教育價值實踐與綜合領域的存在，溝通了現實世界中的數學與課堂上的數學之間的聯系。另一方面，綜合應用數學解決問題也必將給學生的學習方式帶來改變。使學生發展了意志力、自信心和不斷質疑的態度，發展了運用數學進行思考和交流的能力。

課程目標《全日制義務教育數學課程標準》對這個領域的課程設計提出了的總的要求：幫助學生綜合運用已有的知識和經驗，經過自主探索和合作交流，解決與生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性的問題，以發展他們解決問題的能力，加深對“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”內容的理解，體會各部分內容之間的聯系?！皩嵺`與綜合”在不同階段不同的呈現形式第一學段以“實踐活動”為主題，第二學段以“綜合應用”為主題，第三學段(即初中階段)以“課題學習”為主題。

在初中數學中，課題學習的主要形式有三種基本方式：

數學小調查。數學小調查是指學生在教師指導下，從學習生活和社會生活中選擇和確定調查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學習活動。數學調查可以包括三個階段，第一，進入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點。

小課題研究?；顒踊具^程如下：各小組確定活動目標；根據目標確定本組活動內容；在老師指導下實際調查。合作交流。

動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學生以更科學的方法學習知識，尤其強調對學生學習方法、思維方法、學習態度的培養?；具^程是：提出問題動手做實驗觀察記錄解釋討論得出結論表達陳述。具體地說，開

數學研究性學習主要針對我國中學教育中出現的若干弊端，為實施以創新精神和實踐能力為重點的素質教育而提出來的，其根本目的是讓學生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗和正確認識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質和能力。因此，研究性學習的重點在“學習”，研究是手段、途徑，而不是目的。數學研究性學習的內涵

以培養學生的數學創新意識和實踐能力為目的，它主要通過與數學學科內容相關的課題，在教師的指導下，學生為主體地參與、體驗問題提出和解決的全過程。使學生不但發展了思維能力，而且逐漸領悟到數學科學研究的基本過程和方法，提高學生的科數學研究性學習的目的

1.讓學生經歷科學研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗。

2.了解科學研究的方法，提高發現問題和解決問題的能力。

3.學會與人溝通和合作，學會分享。合作的意識和能力，是現代人所應具備的基本素質，而研究性學習提供了一個有利于人際溝通與合作的良好空間。

4.增強探究和創新意識，培養科學態度、科學精神和科學道德。在研究性學習的過程中，學生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學生必須學會從實際出發，通過認真踏實地探究，事實求是地得出結論，并且養成尊重他人的想法和成果的正確態度，同時培養不斷追求的進取精神、嚴謹的科學態度、克服困難的意志品質等。

5.培養學生對社會的責任心和使命感形成積極的人生態度。

6.促進學生學習，掌握和運用一種現代學習方式。

7.激活各科學習中的知識儲備，嘗試相關知識的綜合運用。8.促進教師教學觀念和教學行為的變化，提升教師的綜合素質，培養學生創新精神和實踐能力，推進素質教育的全面實施。

初中數學研究性學習主題分為建模探究型、圖表探究型、調查探究型、開放探究型四種類型。

（1）建模探究型：以學生動手操作、合作探討、設計制作模型為主，教師給予指導、總結、評價。

（2）圖表探究型：以學生觀察、分析數學圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結合相關知識分析、探究、解決問題。例如，數學圖表的制作：“制作人口圖”。

（3）開放探究型：以學生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數學問題：猜想、證明、拓廣。

（4）調查探究型：以學生調查實踐、自主分析、探究實踐的方式和方法為主，教師適時引導、提示、總結。數學研究性學習的特點

1.探究性。探究是人類認識世界的一種基本方式，處于基礎教育階段的初中生對外部

世界仍充滿強烈的新奇感和探究欲，數學研究性學習正好適應學習者個體發展的需要和認識規律。

2.全員參與性。研究性學習主張全體學生的積極參與，它有別于培養天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學習的組織形式是獨立學習與合作學習的結合，其中合作學習占有重要的地位。

3.開放性。數學研究性學習是一種開放性、參與性的教學形式，為了研究有關生活中的數學問題或從數學角度對其它學科中出現的問題進行研究。

4.過程性。要求學生把自己所得出的結論運用到現實生活中去，解決現實生活中涉及到的數學問題，強調學生參與的過程。

5.應用性。學以致用是研究性學習的又一基本特征。研究性學習重在知識技能的應用，而不在于掌握知識的量。

6.體驗性。研究性學習不僅重視學習過程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學習的體驗。數學研究性學習的實施保持和進一步提高學習數學的積極性。

（3）在實施過程中，要采取有效的手段對學習活動進行監控；指導學生寫好研究數學日記，及時記載研究情況，真實記錄個體體驗，為以后進行和評價提供依據。

（4）要爭取家長和社會有關方面的關心、理解和參與，與學生一起開發對實施研究性學習有價值的校內外教育資源，為學生開展研究性學習提供良好條件。

（5）能夠根據學校與班級實施研究性學習的不同目標定位和主客觀條件，在不同時段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點。

數學模型一般是指由數字、字母或其它數學符號組成的，描述現實對象(原型)數量規律和空間特征的數學結構。數學模型可以敘述為：對于現實世界的一個特定對象，為了實施要求：

①全員參與，而非只關注少數數學尖子學生競爭，給每個學生有鍛煉與參與的機會；

②任務驅動。要向學生提出有明確具體要求的任務，發揮它對學生學習過程的引導作用；

③重在學習過程而非研究的結果；

④重在知識技能的應用而非掌握知識的數量；

⑤重在親身參與探索性實踐活動，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經驗；

⑥形式上靈活多樣，強調課內外結合。數學研究性學習模式有三種：

（1）理論實踐模式。是指師生在共同學習研究性學習理論的基礎上，學生運用數學理論來研究、解決數學問題，體驗研究性學習課程理論的價值，提高綜合能力的一種教學模式。

（2）數學問題探討模式。師生圍繞數學問題的分析與探討展開的教學活動，構成了問題探討教學模式。其基本理念在于：以激勵、強化學生在教學過程中的主體參與意識為著眼點，以幫助學生學會學習，學會發現和分析問題，培養學生創造性解決問題的能力為宗旨，創設一種開放而又活潑的學習氛圍。其教學策略是：將問題或案例呈現給學生，引導學生共同探討，構建師生平等、互動的學習環境。

一般來說，教師要選擇典型的數學問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學生，而要創造性地加以取舍，主動設疑，引導學生學會思考，提高學生的學習數學能力。

（3）數學課題研究模式。數學課題研究模式是指教師提供課題或由學生根據興趣設計研究課題，并在教師的指導下自主探索、實施研究計劃、完成課題目標、提高社會實踐能力的一種教學模式。

組織形式有三種類型：小組合作研究、個人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經常被采用的一種組織形式。數學研究性學習實施的一般程序

一般可以分為三個階段：

（1）進入問題情境階段（準備階段）。主要任務是背景知識的準備；指導學生確定數學研究課題；組織課程小組、制定研究方案。

（2）實踐體驗階段（實施階段）。本階段學生要進入具體的解決問題過程。

（3）表達交流階段（結題階段）。學生將自己或小組經過實踐、體驗所取得的收獲進行歸納整理、總結提煉，形成書面或口頭報告材料，得出結論，并進行成果交流和總結反思。數學研究性學習實施中的教師指導

（1）在初中不同的學段和年級，教師的指導工作內容和方法應該有所不同。

（2）在數學研究性學習實施過程中，教師要及時了解學生開展活動的情況，有針對性地進行指導、點撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進學生自我教育，幫助他們

一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設后，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學建模教學的目

使學生體會數學與自然及人類社會的密切聯系，體會數學的應用價值，培養數學的應用意識，增進對數學的理解和應用數學的信心；使學生學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中的問題，進而形成勇于探索、勇于創新的科學精神；使學生學會以數學建模為手段，激發學習數學的積極性，團結合作，建立良好的人際關系、相互合作的工作能力；以數學建模方法為載體，使學生獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學事實以及基本的思想方法和必要的應用技能。數學建模的教學意義

1.培養學生合作學習的能力合作能力是信息社會中每個人必須具備的基本素質。

2.培養學生處理信息的能力數學建模活動則為學生學習如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個有效的途徑。

3.有利于學生形成正確的數學觀數學建模活動的開展使學生形成正確的數學觀成為可能。

4.有利于學生體驗數學與生活、數學與其它學科的聯系

5.激發學生的數學學習興趣

6.發展學生的創新意識數學建模的具體實施1.選題

鼓勵學生自主提出問題，可以從以下幾個方面人手：

①讓學生了解選題的重要性和基本要求，

②指導學生結合自己的生活經驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學生的選題并加以點評，或者請本班同學介紹自己的選題計劃，教師和學生一起分析其可行性，

③教師創設一個問題環境，引導學生自主提出問題、確定課題。這時教師的指導應該是有啟發性的，不要代替學生確定課題，而是啟發學生自己去延展、開拓問題鏈，讓學生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。

2.實施

在課題學習的實施中，我們強調開放學生的思維，強化過程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。

3.指導

在課題學習中，教師如何指導學生，這是一個令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學習過程中，問題形式與內容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結果呈現層次的豐富性，無疑是對參與者創造力的一種激發、挑戰和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學生的優勢是自然的、常常出現的。

4.評價

評價過程具體涉及以下幾個方面：

①調查、求解的過程和結果要合理、清楚、簡捷；

②要有自己獨到的思考和發現；

③能夠恰當地使用工具(如網絡和計算工具)；

④采用合理、簡捷的算法；

⑤提出有價值的求解設計和有見地的新問題；

⑥發揮每個組員的特長，合作學習得有效果。5.建立和擴張資源

對教育資源的認識應該走出靜態的誤區，要看到身邊許多動態的教育教學資源。此外，通過查找相關的刊物和網站也可以發現大批的可用資源。我們還應有意識地建立自己個性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學校學生的優秀成果等。生和發展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數學符號來表示數學概念，使概念形式化。邏輯化在一個特定的數學體系中，孤立的數學概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關系；這些關系稱之為數學概念的邏輯關系。這種邏輯關系使得數學概念系統化、公理化。簡明化數學概念具有高度的抽象性，借助數學符號語言，使得一定事物的本質簡明的形式表現出來，這種簡明化使人們在較短時間內領會。概念的外延與內涵

概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物。

一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延是指適合這個概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個概念的延用范圍。一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵。概念的內涵是說一個概念所反映的事物培養學生的數學應用意識、數學應用能力

實際教學中要強調學生的自主探索、合作交流和操作實踐等學習方式。

（1）充分發揮學生的主體性。在學習過程中，教師可以向學生推薦活動，讓學生在選擇中有較強的自主性；同時，讓學生獨立思考和合作交流，在此基礎上教師進行有針對性的指導。

（2）強凋學生學習方法、思維方法、學習態度的養成，關注學生的學習過程。課題學習活動強調學生主動學習，不宜強調對知識的學習，而且更重要的是強調學生對學習方法、思維方法、學習態度的養成。

（3）創設恰當的問題情景，鼓勵學生思考方法的多樣化。在課題學習活動過程中，教師應當鼓勵與尊重學生的獨立思考，引導學生進行討論與交流，培養學生良好的思考習慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養學生的創新意識與創新思維是十分必要的。

（4）對課題學習的評價應該以質的評價為主。一般說來，對學生實踐與綜合應用活動的評價要強調過程性評價。重點在于促進學生創新精神的培養和實踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學生貼上優秀、良好、不及格的標簽。數學研究性學習的評價對建立學生發展性評價有哪些有益的啟示

（1）研究性學習評價更重視過程。研究性學習評價學生研究成果的價值取向重點是學生的參與研究過程。

（2）研究性學習評價更重視理解中的應用。強調的是學生把學到的基礎知識、掌握的基本技能，應用到實際問題的提出和解決中去既促進學生對知識價值的反思，又加深對知識內涵理解和掌握，形成知識的網絡和結構。3）研究性學習評價強調學生在探究過程中的體驗。

（4）研究性學習評價更重視全員參與。研究性學習的價值取向強調每個學生都有充分學習的潛能，為他們進行不同層次的研究性學習提供了可能性，也為個別化的評價方式創造了條件。第五章初中數學的邏輯基礎

客觀事物都有各自的許多性質，或者稱為屬性。經過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質屬性。反映事物本質屬性的思維形式叫做概念。數學研究的對象是現實世界的空間形式和數量關系。反映數學對象的本質屬性的思維形式叫做數學概念。數學概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。

抽象化數學概念反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數量關系反映得來，而大多數概念排除對象具體的物質內容，抽象出內在的、本質的屬性，甚至在已有數學概念的基礎上，經過多級的抽象過程才產的本質屬性。

概念的內涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關系。概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物。一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵。一個概念的內涵和外延分別從質和量兩個方面刻劃了這個概念，每個概念都是其內涵與外延的統一體．概念的內涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內涵。概念的外延和內涵是主觀對客觀的認識，由于人們對客觀事物的認識是發展變化的，概念的外延和內涵必然相應地發生變化，但是在發展變化的過程中有其相對的穩定性．在數學科學體系的確定的階段，每一個數學概念的外延和內涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數學概念的特點

1、初中數學概念并非都是通過定義給出的

2.初中數學概念的層次性數學概念本身具有層次性。

3.數學概念是理想概念

4.數學概念是“過程”與“對象”的統一體數學概念之間的關系

1.同一關系兩個外延完全相同的概念之間的關系，叫做同一關系。同一關系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關系的兩個概念可以互相代替。

2.交叉關系兩個外延部分相同的概念之間的關系，叫做交叉關系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。

3.從屬關系兩個外延具有包含關系的概念之間的關系，叫做從屬關系。其中外延范圍大的概念A叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做矛盾關系。

5.對立關系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做對立關系。

把一個屬概念分成若干個種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數學中常用劃分把概念系統化。正確的劃分應符合下列條件：

第一，所分成的種概念之間應是全異關系，即任兩個種概念的外延的交集應是空集；第二，劃分應是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應按照同一個標準進行。在一次劃分中用不同的根據就造成了混亂；第四，劃分不應越級。應把屬概念分為最鄰近的種概念

數學概念的定義與要求

定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過程中，經過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質屬性。常用的定義方法:

1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進行定義的方法。2.發生式定義法不直接揭示概念的基本內涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發生式定義法。

3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時，P假；當P假時，P真。

2.選言判斷。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞“或者”構成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。

3.聯言判斷。聯言判斷是用連接詞“且”構成的判斷，表明幾個事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設和題斷，條件和結論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義

關于數學對象及其屬性的判斷叫做數學判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。

4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。

5．關系定義法這是以事物間的關系作為種差的定義，它指出這種關系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。

此外，中學數學中還有描述性定義法(如現行中學數學中關于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導數、n重積分的定義)，借助另一對象來進行定義(如借助指數概念定義對數概念)等等。定義數學概念的基本要求

1.定義應當相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環。即在同一個科學系統中，不能以A概念來定義B概念，而同時又以B概念來定義A概念。

3.定義應清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質屬性來說應是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。

定義要揭示概念所反映對象的本質屬性，而否定形式一般不能做到這一點。數學概念的形成

數學概念形成是從大量的實際例子出發，經過比較、分類，從中找出一類事物的本質屬性，然后通過具體的例子對所發現的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。

數學概念形成的過程有以下幾個階段：

1.觀察實例。

2.分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。

3.抽象本質屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質屬性的假設。

4.確認本質屬性。通過比較正例和反例檢驗假設。確認本質屬性。

5.概括定義。在驗證假設的基礎上，從具體實例中抽象出本質屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。

6.符號表示。

7.具體運用。使新概念與已有認知結構中的相關概念建立起牢固的實質性聯系。把所學的概念納入到相應的概念體系中。

判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數學中要進行證明。如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質判斷和關系判斷。復合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構成的判斷。

1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當P如何理解命題的分類

所謂性質命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質的命題。性質命題由主項、謂項、量項和聯項四部分組成。關系命題關系命題是斷定事物與事物之間關系的命題，關系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復合命題命題真值的概念。

對于命題A、B，如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。

復合命題的分類

復合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

否定式。給定一個命題A，用連接詞“非”組成一個復合命題“非A”，

析取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“或”組成一個復合命題“A或B”，合取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“且”組成一個復合命題“A且B”蘊含式。給定兩個命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個復合命題“若A則B”，記作AB

等值式。給定兩個命題A與B，用連接詞“等值”組成一個復合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理

不加證明而被承認其真實性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數學理論的主要基礎。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現象中抽象出來的，符合客觀規律。

任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。

經過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質的區別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規律

1.同一律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確

定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點具體要求：一是思維的對象應保持同一。二是表示同一事物的概念應保持同一。

2.矛盾律：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

3.排中律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。

排中律和矛盾律既有聯系，又有區別。其聯系在于：它們都是關于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由

? 兒童數學超前培訓總結

有幾日沒有點開我的國培網頁，好好地進行學習了。并不是我倦怠了，只是想把自己認真聽過的一些理論知識好好消化消化，特別是受了我們辦公室里的彭虹老師的啟發將自認為對自己有用的一些知識記錄了下來。當黑字落在白紙上后，那就可以憑記錄來進行再學習了。

不過，沒有想到的是，這些理論知識很快就在我的教學中發揮了指導作用。昨天，我給兩個班的學生布置了一項語文作業：即把溫庭筠的《望江南》用自己的話描述出來，要求展開合理的想象，調動多種感覺角度來表達。今天批改這項作業時，發現了許多亮點：

如平日里好打扮的一些女生就普遍把“梳洗罷”后的這一女子的外貌進行了一定的描寫：她滿頭的發髻上沒有一點飾物，著了一身淡紫色衣裙；心思細膩的學生則往往在描寫女子極目遠眺歸船時，把倚欄的動作寫的很清楚：她倚坐在欄桿邊，用一手托著腮，望著江面，當有帆船駛過，她那長長的睫毛便抖動起來，可不一會兒，臉上又布上了失望的神情；活潑好動的學生更多的是想象了江面上有沙鷗在夕陽中時飛時集；也有幾個多愁善感的女生把景色描寫得十分凄美，其中有一個寫道：江中小島上散落著一地的白花，微風中，輕輕搖曳著，零落的花瓣隨波而逝，撲鼻的是那淡淡的帶著憂傷的芬芳。

上課后，我好好的表揚了學生們。對這一首還沒有教學到的詞，他們把意象與意境都能創設的很美。在此前，我從來都是用我的講解武斷地來讓學生體會詩詞的意境與情感，也就是幾乎沒有放過手讓學生用自我的體驗來進行閱讀。

可自從參加了國培，知道了原來“個性化”的閱讀，是對閱讀者的尊重。生活體驗的不同，就會產生對文本閱讀解讀的多樣性。因此專家們一再呼吁讓學生進行個性化閱讀。

當然，在提倡個性化閱讀的同時，教師也不能忽略對學生的指導和引導。因為學生畢竟是學生，如果沒有有效的指導和良好的引導，

學生的閱讀也會出問題的。比如在對《望江南》的描述中，有個學生就寫出這樣的句子“夕陽在落下前依然放出萬丈光芒，水面上波光粼粼，悠閑的一天就這樣結束了?！憋@然這個學生沒有讀懂此詞，沒有體會詞中的意境，所以發生了理解性錯誤。也有學生因運用的詞語不妥，而破壞了詞的意境。如不少學生將“過盡千帆皆不是”寫為一艘艘帆船駛過。我覺得其中的“一艘艘”較為不妥，顯得畫面較為壯觀，因而引導學生改為一只只，學生改過后大多回答說這樣顯得更應景與情了?？梢?，老師的指導與引導作用也是不可缺的！

看來，有新的教育理念武裝大腦后，教師會有改變，教學方法也會變化！

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