導數的應用思想總結（錦集10篇）_導數的應用思想總結

發表時間：2024-10-14

導數的應用思想總結（錦集10篇）。

? 導數的應用思想總結

特殊化思想是一種非常關鍵的數學思想，其同時還是辯證的認知規律的重要體現。歷史中部分重要額科學發現往往是由一些特殊的案例所引起的。華羅庚曾經指出：善于“退”，直至“退”到最初而不缺乏重要性的區域，是數學學習的重要秘訣。波利亞曾經說過：特殊化是以考慮某一限定的目標集合轉向考慮此集合相對偏小的子集，又或是僅僅是一個目標對象。希爾伯曾指出：在對數學問題進行分析的時候，我堅信特殊化與一般化相比有著更加重要的作用。我們之所以不能成功的尋找到某一個答案，便在于如此事實，雖然有部分比手頭的問題更加容易、更為簡單的問題并未全面解決。尋找到相對容易的問題，同時以盡量完美的方式與能夠存在的概念以處理它們，是科學探究的一般規律。以上均表明了特殊化思想具有非常重要的作用。將問題特殊化，往往在解決問題中起到出其不意的效果。

運用特殊化思想的解決數學問題，往往需要遵守下述準則：（1）合理性準則。所選擇的特殊值需要滿足題設的所有條件，將集合I特殊化成集合A的時候，需要符合IA，同時A≠。（2）最簡性準則。在正常狀況下，特殊化集合A是一種單元素集，選擇的特殊元素可以使得推理又或是運算更加的簡單。（3）功能性準則。也就是所選擇的特殊值具備對于備選答案的選取功能，應用所選擇的選特殊元素可以快速進行正確的選擇。

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【學習要求】

1、能根據定義求函數y=c，y=x，y=x2，y=1x的導數、

2、能利用給出的基本初等函數的導數公式求簡單函數的導數、

【學法指導】

1、利用導數的定義推導簡單函數的導數公式，類推一般多項式函數的導數公式，體會由特殊到一般的思想、通過定義求導數的過程，培養歸納、探求規律的能力，提高學習興趣、

2、本節公式是下面幾節課的基礎，記準公式是學好本章內容的關鍵、記公式時，要注意觀察公式之間的聯系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例、公式5與公式7中lna的位置的不同等、

1、幾個常用函數的導數

原函數導函數

f(x)=cf′(x)=

f(x)=xf′(x)=

f(x)=x2f′(x)=

f(x)=1x

f′(x)=

f(x)=x

f′(x)=

2、基本初等函數的導數公式

原函數導函數

f(x)=cf′(x)=

f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=

f(x)=sinxf′(x)=

f(x)=cosxf′(x)=

f(x)=axf′(x)=(a>0)

f(x)=exf′(x)=

f(x)=logax

f′(x)=(a>0且a≠1)

f(x)=lnxf′(x)=

探究點一幾個常用函數的導數

問題1怎樣利用定義求函數y=f(x)的導數?

問題2利用定義求下列常用函數的導數：(1)y=c(2)y=x(3)y=x2(4)y=1x(5)y=x

問題3導數的幾何意義是曲線在某點處的切線的斜率、物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度、(1)函數y=f(x)=c(常數)的導數的物理意義是什么?

(2)函數y=f(x)=x的導數的物理意義呢?

問題4畫出函數y=1x的圖象、根據圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點(1,1)處的切線方程、

探究點二基本初等函數的導數公式

問題1利用導數的定義可以求函數的導函數，但運算比較繁雜，有些函數式子在中學階段無法變形，怎樣解決這個問題?

問題2你能發現8個基本初等函數的導數公式之間的聯系嗎?

例1求下列函數的導數：(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3;(5)y=log3x、

跟蹤1求下列函數的導數：(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=

例2判斷下列計算是否正確、

求y=cosx在x=π3處的導數，過程如下：y′|=′=-sinπ3=-32、

跟蹤2求函數f(x)=13x在x=1處的導數、

探究點三導數公式的綜合應用

例3已知直線x-2y-4=0與拋物線y2=x相交于A、B兩點，O是坐標原點，試在拋物線的弧上求一點P，使△ABP的面積最大、

跟蹤3點P是曲線y=ex上任意一點，求點P到直線y=x的最小距離、

【達標檢測】

1、給出下列結論：①若y=1x3，則y′=-3x4;②若y=3x，則y′=133x;

③若y=1x2，則y′=-2x-3;④若f(x)=3x，則f′(1)=3、其中正確的個數是()

A、1B、2C、3D、4

2、函數f(x)=x，則f′(3)等于()

A、36B、0C、12xD、32

3、設正弦曲線y=sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()

A、[0，π4]∪[3π4，π)B、[0，π)C、[π4，3π4]D、[0，π4]∪[π2，3π4]

4、曲線y=ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為xxxxxxxx、

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精益思想起源于日本豐田汽車公司,又稱為豐田生產方式.這是一種旨在提高品質、降低成本、提高交貨速度的生產方式.筆者對我國路橋施工與管理中的存在的一些問題進行了較為全面的`梳理,并以現代先進的精益思想理論為指導,提出了在路橋施工與管理中如何應用精益思想的措施和方法,為提高路橋施工項目管理質量做了簡要的探索.

作者：孫紅宇 ?作者單位：河南省公路工程局集團有限公司,河南,鄭州,450000?刊名：華章?英文刊名：HUAZHANG?年，卷(期)：?“”(19)?分類號：U416?關鍵詞：精益思想 ??路橋施工 ??精準采購 ?

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【例一】如圖所示，一根一段封閉的玻璃管，長L=96厘米內有一段h1=20厘米的`水銀柱，當溫度為27攝氏度，開口端豎直向上時，被封閉氣柱h2=60厘米，溫度至少多少度，水銀才能從管中全部溢出？

解：首先使溫度升高為T0以至水銀柱上升16厘米，水銀與管口平齊，此過程是線性變化。溫度繼續升高，水銀溢出，此過程不再是線性關系。設溫度為T時,剩余水銀柱長h,對任意位置的平衡態列方程：

(76+ h1)×60/300=(76+h) ×(96-h)/ T??? 整理得：

h的變化范圍0――20，可以看出溫度T是h的二次函數，此問題轉化為在定義域內求T的取值范圍,若Tminmax，只有當溫度T大于等于Tmax 才能使水銀柱全部溢出，經計算所求值Tmax =385.2 。

只有通過二次函數極值法，才能從根上把本體解決。加強數學思想的滲透是新教材新的一個體現，比如：“探索彈簧振子周期與那些因素有關”，“探索彈簧彈力與伸長的關系”。在實際教學過程中應該引起高度重視并加以擴展。

大學物理課程與高中物理課程跨度較大，難點在于運用數學手段探索性研究物理問題的方法，另外微積分思想比較難以理解，為了與大學物理課程更好的接軌，在高中階段對學生進行微積分思想的滲透也是非常必要的。因此在高中物理教學過程中應抓住有利時機滲透微元思想，為學好微積分奠定良好的基礎。滲透的內容應該有兩方面：一是變化率，二是無限小變化量，比如：

在講速度時，平均速度v=△s/t,即時速度呢？△s/t就是變化率,當△s取無限小時，v就可以理解為某一時刻的速度――即使速度。加速度a=△v/t, △v/t是速度變化率，當△v取無限小時，加速度a就可以理解為某一時刻的加速度。象這樣的例子還有w/t,I/t, △φ/t等等。總之高中物理教師應當根據學生的具體情況適當的滲透微積分的思想并加以配套練習，達到鞏固理解的目的。下面討論一個相關題目。

【例二】一豎直放的等截面U形管內裝有總長為L的水銀柱，當它左右兩部分液面做上下自由振動時，證明水銀柱的振動時間諧振動。

解：設兩液面相平時速度為V0,建立坐標如圖。

mv02/2=△mgx1 +mv12/2???????????? ⑴

mv02/2=mgx12/L +mv12/2??????????????? ⑶

mv02/2=mgx22/L +mv22/2???????????? ???⑷

0=(x22-x12)mg/L+m(v22-v12)/2化簡得：

0=(x1+x2) mg△x/L+m(v12-v22)/2??????? ⑸

△x很小，則認為加速度a不變,根據運動學公式得：

0=2x△xmg/L+2ma△x/2????????????? ⑹

即：F=-2mgx/L??? 2mg/L為常數K，證得水銀柱的振動為簡諧振動。

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設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，（x0+Δx）也在該鄰域內時，相應地函數取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數y=f（x）在點x0處可導。

導數是用來分析變化的。

以一次函數為例，我們知道一次函數的圖像是直線，在解析幾何里講了，一次函數剛好就是解析幾何里面有斜率的.直線，給一次函數求導，就會得到斜率。

曲線上的一點如何向另一點變化，就是通過傾斜度的“緩”與“急”來表現的。對一次函數求導會得到直線的斜率，對曲線函數求導能得到各點的斜率。

綜上所述，導數是用來分析“變化”的工具。

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投稿日期：所投欄目：（高中版）課堂教學研究手機號碼：電子郵箱：sx@

高中導數概念引入的教學研究

孫旋南京師范大學摘要：導數是微積分的核心概念，高中開設微積分課程具有多方面的價值和意義。新課標在導數概念的處理上有了大的變化，考慮到高中學生的認知水平要求不講極限，但要求體會導數的思想及其內涵。極限思想與極限定義不同，極限思想在很早的時候就有了，而極限定義產生于解決微積分學的基本問題。高中導數蘊含著重要的極限思想，高中學生體會極限思想有利于之后微積分內容的學習。

關鍵詞：極限思想；瞬時速度；導數

一、課程標準的要求

全日制普通高中數學課程標準中導數概念及其幾何意義的內容與要求是：“①通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵。②通過函數圖象直觀地理解導數的幾何意義?！?/p>

《課程標準解讀》介紹了新課程對“導數及其應用”教學處理上的主要變化:1.突出導數概念的本質。以往教材在編排上從極限概念開始學習, 學生對極限概念認識和理解的困難, 影響了對導數本質的認識和理解。因此, 課標在這部分的處理有了大的變化，不講極限概念，不是把導數作為一種特殊的極限(增量比的極限)來處理, 而是直接通過實際背景和具體應用實例——速度、膨脹率、效率、增長率等反映導數思想和本質的實例, 引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程, 認識和理解導數概念；同時加強對導數幾何意義的認識和理解；2.強調導數在研究事物的變化率、變化的快慢, 研究函數的基本性質和優化問題中的應用, 并通過與初等方法比較, 感受和體會導數在處理上述問題中的一般性和有效性。

二、導數概念的內涵

高等數學中導數的定義是：函數 y=f（x）在 x 的某鄰域 U（x，δ）中有定義，自變量在點 x 處獲得一個增量△x，相應地，函數 y 獲得增量△y=f（x+△x）-f（x）。考慮極限式子

lim?y ，如果該極限存在，我們就稱該極限?x?0?xdy為函數 y=f（x）在 x處的導數，記作 f′（x）或dx。函數的導數如果像這樣依托于極限進行定義，沒有具體的問題，高中生很難知道求導數到底是在干什么。

蘇教版教材中導數的定義是：設函數y?f(x)在區間（a,b)上有定義，x0?(a,b)，若?x無限趨近于0時，比值

?yf(x0??x)?f(x0)?無限趨近于一個?x?x常數A，則稱f(x)在x?x0處可導，并稱該常數A為函數在x?x0處的導數，記作f'(x0)。

人教版教材中導數的定義是：一般地，函數y?f(x)在x?x0處的瞬時變化lim?ylimf(x0??x)?f(x0)率是，我們稱它為函數y?f(x)在x?x0處??x?0?x?x?0?x的導數，記作f'(x0)或y'x?x0即f'(x0)=

lim?ylimf(x0??x)?f(x0).??x?0?x?x?0?x但當與實際問題結合起來是，導數的內涵就清晰了，導數在一些具體問題中的意義詮釋如下：

?s(1)運動學中，對象函數為 S＝S（t），S 表示位移，t 表示時間，則?t表示一段時內的平均速度。再進一步，我們容易意識到S'(t)對應著 t 時刻物體的瞬時速度 v（t）。類似地，我們也能意識到V'(t)對應著 t 時刻物體的瞬時加速度 a（t）。

(2)幾何中，y=f（x）圖像曲線上有定點 M（x，f（x））及動點 N（x+△x，f（x+△x）），N 的運動由自變量增量△x 控制。顯然，

?y表示弦 MN 所在直?x線的斜率，進一步我們容易意識到，當動點 N 沿函數圖像曲線不斷靠近 M 時，MN 所在直線就越來越接近圖像曲線在點 M 處的切線了，自然f'(x)表示的應是點 M（x，f（x））處切線的斜率。導數及其應用屬于高中選修內容，此時學生已經在高一年級階段學習了瞬時速度、平均速度和加速度等物理知識，結合瞬時速度引入導數概念可以幫助學生正確理解導數的內涵。導數的幾何意義重要性突出，是導數從數到形的橋梁，讓學生感受變化率和斜率的內在聯系。由此可見，高中導數概念不僅具有標準化的數學語言描述，而且結合實際問題體現了其教學價值，成功地將高等數學知識下放到高中數學中。

三、極限思想在教材中的體現及重要性

新課標明確要求高中導數概念的引入不再先進行極限的教學，要讓學生通過感受導數在研究函數和解決實際問題中的作用，體會導數的思想及其內涵。從教材的內容安排來分析，蘇教版已經將極限相關內容刪除，但在導數定義中含有“無限趨近于”一詞，這正是極限思想的體現。而人教版教材的選修Ⅰ和選修Ⅱ中考慮到文理科學生的差別在導數概念的引入上差異較大，但定義中仍然都存在極限一詞。

蘇教版教材選修1-1和選修2-2中導數的概念是通過具有實際背景的生活實例，先讓學生理解平均變化率是近似地刻畫了曲線在某區間上的變化趨勢，通過逐漸逼近讓學生觀察并體會某一點處的切線的斜率和瞬時加速度，進而升華出瞬時變化率，最后引入導數就是瞬時變化率。從教育心理學角度來看，學生學習新概念時總是會從原有認知出發，發現、理解原來知識體系和新事物間的聯系和區別，理解概念時易受到已有知識結構和自身感性經驗以及自身概括能力的影響。所以如果學生對于瞬時變化率的理解不透徹，進而對導數概念理解也不深刻。

人教版教材中選修Ⅰ是通過討論瞬時速度、切線的斜率和邊際成本，指出雖然它們的實際意義不同，但從函數的角度來看，卻是相同的，都是研究函數的增量與自變量的增量的比的極限，由此引入函數的概念。選修Ⅱ中導數概念主要從“氣球膨脹率”和“高臺跳水”展開，這兩個實例雖然學生在生活中會接觸，但是在抽象出理論知識時會要求的狀態較為理想化使學生對于實例不能充分理解或者說學生對于導數概念更多的依賴于瞬時變化率。若想理解導數就必須有正確的極限思想，如果學生沒有這種極限意識，在理解導數概念時肯定會困難重重。

在導數概念講解的過程中教師不必依托于形式化的極限定義，但是導數的概念甚至以后的微積分學習中仍然蘊含著極限思想，所以在課堂上對學生極限思維的培養意義重大。

四、個人關于高中導數概念教學的建議及設計片段

新課標在導數內容的變化是符合高中學生的身心發展特點的，形式化的極限定義對于高中生來說理解起來難度較大，許多調查研究表明以往高中生對極限概念的學習效果差強人意，從“平均變化率—瞬時變化率”的教學改善了導數的教學效果。

教師對于導數的理解直接可以影響學生對于導數的學習情況，作為教師我們應該了解極限思想貫穿微積分教學的始終，可以說不論是中學還是大學，極限思想是微積分的核心。教師要善于利用問題，在教學活動中做些適當的安排，充分利用學生已有的物理知識、曲線斜率知識和變化率知識，將導數概念中的?x?0講解透徹，讓學生理解趨近于0并不等于0，這正是極限思想的體現，注重引導學生用數學眼光看問題，增強應用意識。除此之外，教師可以通過數學史的講解讓學生體會極限思想在處理一些問題上的好處，從而正確理解導數概念，有利于從微分到積分的學習。教師巧妙的教學設計可以做到“此時無聲勝有聲”，達到事半功倍的效果。

對課本中“導數的概念”的設計片段： 1.創設情境

著名物理學家、諾貝爾獎獲得者費恩曼曾講過這樣一則笑話。一位女士由于駕車超速而被警察攔住。警察走過來對她說：“太太，您剛才的車速是60英里每小時！”這位女士反駁說：“不可能的！我才開了7分鐘，還不到一個小時，怎么可能走了60英里呢？”太太，我的意思是：“如果您繼續像剛才那樣開車，在下一個小時里您將駛過60英里?！薄斑@也是不可能的。我只要再行駛10英里就到家了，根本不需要再開過60英里的路程?！比绻闶蔷?，你會如何解釋呢？（設計意圖：從學生已有的物理知識出發，引入瞬時速度與瞬時變化率，建立物理與數學的聯系，通過舉例讓學生感受平均變化率和瞬時變化率的區別。） 2.瞬時速度和導數的概念

物理學中，我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度，對這樣的速度我們常用極限的思想方法去求解。通過不斷探究得到瞬時速度的數學表達式，也就是位移對于時間的瞬時變化率，從而給出瞬時變化率即導數的概念。（探究過程就是將時間不斷縮小，從時間間隔到時刻、平均速度到瞬時速度，最后得到瞬時速度就是瞬時變化率，這里不再贅述。）

（設計意圖：“正如牛頓所做的那樣,理解導數之本質的最好方法是考慮速度?！睆乃俣瘸霭l進行探究，將時間不斷縮小就是從平均速度過渡到瞬時速度，從平均變化率過渡到瞬時變化率，順水推舟給出導數概念。）參考文獻：

1.王佩.導數的現實應用內涵理解與教學策略[J].科技世界，2014(17):中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[S].北京：人民教育出版社，蘇教版高中數學教材編寫組.普通高中課程標準實驗教科書[Z].江蘇：江蘇教育出版社，人民教育出版社中數學室.全日制普通高級中學教科書[Z].北京：人民教育出版社，宋寶和，郭兆明，房元霞.變化率思想：高中開設微積分課程的價值[J].課程?教材?教法，2006(9):王洪巖.高中生導數概念教學的研究[D].河北師范大學，宗慧敏,王月華.導數概念教學體會[J].科技信息（職教論壇），2009（11）：222，王忠.微積分學教學中的極限思想[J].內蒙古科技與經濟，2001（2）：107—109.聯系電話： Email：sx@ 作者簡介:孫旋（—），女，碩士，南京師范大學，研究方向為學科教學(數學）

函數概念教學設計

教學設計概念

數學教學設計概念（共5篇）

高中數學《函數的概念》教學設計

對數概念教學設計（共15篇）

? 導數的應用思想總結

教學準備

1、教學目標

(1)理解平均變化率的概念、

(2)了解瞬時速度、瞬時變化率、的概念、

(3)理解導數的概念

(4)會求函數在某點的導數或瞬時變化率、

2、教學重點/難點

教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念及導數概念的形成和理解

教學難點：會求簡單函數y=f(x)在x=x0處的導數

3、教學用具

多媒體、板書

4、教學過程

一、創設情景、引入課題

【師】十七世紀，在歐洲資本主義發展初期，由于工場的手工業向機器生產過渡，提高了生產力，促進了科學技術的快速發展，其中突出的成就就是數學研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產生。

【板演/PPT】

【師】人們發現在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t(單位：秒)存在函數關系

h(t)=-4、9t2+6、5t+10、

如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?

【板演/PPT】

讓學生自由發言，教師不急于下結論，而是繼續引導學生：欲知結論怎樣，讓我們一起來觀察、研探。

【設計意圖】自然進入課題內容。

二、新知探究

[1]變化率問題

【合作探究】

探究1氣球膨脹率

【師】很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢、從數學角度,如何描述這種現象呢?

氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是

如果將半徑r表示為體積V的函數,那么

【板演/PPT】

【活動】

【分析】

當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為(1)當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為

0、62>0、16

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了、

【思考】當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?

解析：

探究2高臺跳水

【師】在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t(單位：秒)存在函數關系h(t)=-4、9t2+6、5t+10、

如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?

(請計算)

【板演/PPT】

【生】學生舉手回答

【活動】學生覺得問題有價值，具有挑戰性，迫切想知道解決問題的方法。

【師】解析：h(t)=-4、9t2+6、5t+10

【設計意圖】兩個問題由易到難，讓學生一步一個臺階。為引入變化率的概念以及加深對變化率概念的理解服務。

探究3計算運動員在

這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:

(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?

【板演/PPT】

【生】學生舉手回答

【師】在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態、

【活動】師生共同歸納出結論

?述職報告之家ys575.COm編輯部下午茶談資庫:

七一祝福語簡短精辟句子錦集?|?描寫事的作文篇?|?黨員轉正思想匯報四篇2000?|?大學黨員轉正思想匯報四篇?|?導數的應用思想總結?|?導數的應用思想總結

平均變化率:

上述兩個問題中的函數關系用y=f(x)表示，那么問題中的變化率可用式子

我們把這個式子稱為函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率、

習慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)

這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2

同樣Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均變化率可以表示為：

【幾何意義】觀察函數f(x)的圖象，平均變化率的幾何意義是什么?

探究2當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?

從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度

當△t趨近于0時,即無論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度都趨近與一個確定的值–13、1、

從物理的角度看,時間間隔|△t|無限變小時,平均速度就無限趨近于t=2時的瞬時速度、因此,運動員在t=2時的瞬時速度是–13、1m/s、

為了表述方便，我們用xx表示“當t=2,△t趨近于0時,平均速度趨近于確定值–13、1”、

【瞬時速度】

我們用

表示“當t=2,Δt趨近于0時,平均速度趨于確定值-13、1”、

局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。那么,運動員在某一時刻的瞬時速度?

【設計意圖】讓學生體會由平均速度到瞬時速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒時的瞬時速度。

探究3:

(1)、運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示?

(2)、函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示?

導數的概念:

一般地，函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是

稱為函數y=f(x)在x=x0處的導數,記作

或,

【總結提升】

由導數的定義可知,求函數y=f(x)的導數的一般方法:

[3]例題講解

例題1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品,需要對原油進行冷卻和加熱、如果第xh時,原油的溫度(單位:)為y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8)、計算第2h與第6h時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義、

解:在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率就是

在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5、它說明在第2h附近,原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h的速率上升、

? 導數的應用思想總結

有關高二數學《導數》知識點總結

1、導數的定義：在點處的導數記作

2.導數的幾何物理意義：曲線在點處切線的斜率

①=f/(x0)表示過曲線=f(x)上P(x0,f(x0))切線斜率。V=s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。

3.常見函數的導數公式

4.導數的四則運算法則

5.導數的應用：

(1)利用導數判斷函數的單調性：設函數在某個區間內可導,如果,那么為增函數;如果,那么為減函數;

注意：如果已知為減函數求字母取值范圍,那么不等式恒成立。

(2)求極值的步驟：

①求導數;

②求方程的根;

③列表：檢驗在方程根的左右的符號，如果左正右負,那么函數在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么函數在這個根處取得極小值;

(3)求可導函數最大值與最小值的步驟：

ⅰ求的根;ⅱ把根與區間端點函數值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。

導數與物理，幾何，代數關系密切：在幾何中可求切線;在代數中可求瞬時變化率;在物理中可求速度、加速度。學好導數至關重要，一起來學習高二數學導數的定義知識點歸納吧!

導數是微積分中的重要基礎概念。當函數=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δ與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f(x0)或df(x0)/dx。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的`概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。

對于可導的函數f(x)，xf(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也于極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

設函數=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內時，相應地函數取得增量Δ=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δ與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數=f(x)在點x0處的導數記為f(x0)，也記作│x=x0或d/dx│x=x0。